§ 127. Центр изгиба

При исследовании задачи об изгибе консоли мы приняли в качестве оси ось, проходящую через центр тяжести сечения, а в качестве осей х и у - оси инерции поперечного сечения. Предположим, что сила D параллельна оси х и находится на таком расстоянии от центра тяжести, что закручивание стержня не происходит. Это расстояние, которое важно для практических расчетов, можно легко найти, если известны напряжения, выраженные с помощью формул (181). С этой целью найдем момент касательных напряжений относительно центра тяжести сечения. Этот момент, очевидно, равен

Замечая, что напряжения, распределенные по концевому поперечному сечению балки, статически эквивалентны действующей силе Р, заключаем, что расстояние силы Р от центра тяжести поперечного сечения определяется формулой

Для положительных расстояние следует брать в направлении положительных у. Ранее было сделано предположение, что сила действует параллельно оси х.

Если сила Р параллельна оси у, а не оси х, мы можем с помощью подобных вычислений установить положение линии действия силы Р, для которой не происходит вращения элементов поперечного сечения, находящихся в центре тяжести. Полученная точка пересечения двух линий действия усилий изгиба имеет важное значение. Если сила, действующая перпендикулярно оси балки, прилагается в этой точке, мы можем разложить ее на две составляющие, параллельные осям на основе вышеприведенных рассуждений заключаем, что эта сила не вызовет вращения элементов поперечного сечения, находящихся в центре тяжести. Такая точка называется центром изгиба.

Если поперечное сечение балки обладает двумя осями симметрии, можно сразу же сделать вывод, что центр изгиба совпадает с центром тяжести поперечного сечения. Когда есть лишь одна ось симметрии, из условия симметрии заключаем, что центр изгиба должен лежать на этой оси. Приняв ось симметрии за

ось у, можно определить положение центра изгиба из формулы (б).

Рассмотрим в качестве примера полукруглое поперечное сечение, показанное на рис. 198. Для определения касательных напряжений можно воспользоваться решением, полученным для балок круглого сечения (см. стр. 362). В этом случае в вертикальном диаметральном сечении напряжения отсутствуют. Мы можем представить себе, что балка разделена по плоскости на две половины, каждая из которых представляет балку полукруглого сечения, изгибаемую силой

Напряжения задаются выражениями (184). Подставляя их в уравнение (а), интегрируя и деля на находим следующую формулу для расстояния от начала координат результирующей поперечной силы:

Рис. 198.

Эта формула определяет положение силы, для которой элемент в точке О поперечного сечения, в центре круга, не вращается. В то же время элемент поперечного сечения, расположенный в центре тяжести сечения, будет поворачиваться на угол (см., формулу (б) на стр. 360):

где 0,424r — расстояние от начала координат О до центра тяжести полукруга. Чтобы свести к нулю это вращение, нужно приложить, как показано на рис. 198, некоторый момент. Величину этого момента можно найти, используя таблицу на стр. 321, которая дает для полукруглого поперечного сечения следующий угол закручивания на единицу длины:

Далее условие отсутствия вращения для элементов поперечного сечения, находящихся в центре тяжести, дает

Этот крутящий момент можно получить путем смещения

результирующей изгибающей силы к оси на величину

Чтобы получить расстояние центра изгиба от центра круга О, нужно вычесть эту величину из ранее найденного расстояния е. Полагая имеем

В сечениях, показанных на рис. 196, компоненты касательного напряжения равны

Отсюда

Интегрируя по частям и учитывая, что обращается в нуль на границе получаем

Подставляя эти значения в формулу (в) и деля на Р, находим

Зная и пользуясь для определения мембранной аналогией, мы можем всегда найти с достаточной точностью положение центра изгиба для рассматриваемых поперечных сечений.

Вопрос о центре изгиба становится особенно важным для тонкостенных сечений открытого профиля. Для таких сечений его можно легко определить с достаточной точностью, предполагая, что касательные напряжения по толщине сечения распределены равномерно и параллельны срединной поверхности.

Положение центра изгиба поперечного сечения определяется только его формой. В то же время положение центра кручения (см. стр. 312) зависит от способа закрепления стержня. С помощью соответствующего выбора способа закрепления можно совместить ось закручивания с осью, на которой лежат центры изгиба. Можно показать, что это происходит тогда, когда стержень закреплен таким образом, что интеграл по всему поперечному сечению достигает минимума, где — деиланация кручения (не определяемая линейной функцией от х и у до того, как было наложено это условие). Практически способ закрепления всегда вызывает возмущение напряженного состояния вблизи закрепленного конца; в частности, это возмущение имеет место в случае, когда закрепление полностью препятствует перемещениям концевого сечения. В этом случае, если рассматривать поперечную силу как сосредоточенную нагрузку, приложенную в центре изгиба и не вызывающую вращения, то теорема взаимности (стр. 281) показывает, что крутящий момент вызовет равный нулю прогиб центра изгиба. Доказательство этого положения носит приближенный характер, так как существование центра кручения Существенно связано с отсутствием деформаций поперечных сечений в их плоскостях, что не выполняется в возмущенной области вблизи заделанного конца.