§ 97. Теорема взаимности

Рассмотрим теперь некоторое упругое тело, находящееся под действием системы заданных поверхностных сил и массовых сил и будем считать перемещения, деформации и напряжения известными. Обозначим их через , Затем, независимо, рассмотрим другую систему сил и обозначим результаты решения второй задачи через .

Мы имеем два разных решения двух разных задач. Однако в силу того, что они относятся к одному и тому же упругому телу, между этими решениями существуют связи. Здесь мы рассмотрим одну из таких связей, выраженную в виде теоремы взаимности.

Из двух решений мы можем чисто математическим путем образовать величину определяемую формулой

Меняя всюду местами одиночный и двойной штрихи, получаем

Теорема утверждает, что

Для доказательства воспользуемся вновь теоремой о дивергенции (138). Рассмотрим в формуле (а) член

который представляет собой то же, что и

В (138) можно положить

чтобы придать правой части (138) вид поверхностного интеграла (д).

Затем пойдем путем, аналогичным выкладкам (е) и (ж) в § 93, используя три уравнения равновесия вида

Вместо выражения (м) из § 93 получаем соотношение

показывающее возможность преобразования формулы к виду

Можно записать формулу (к) полностью или через компоненты напряжения, или через компоненты деформации. Выбирая последнее, удобно воспользоваться законом Гука в форме (11) и (6). Далее для подынтегрального выражения в (к) находим

где

Результат очевидно, не изменится, если поменять местами двойные и одиночные штрихи. Однако такая замена — это все, что требуется заменить в (к), чтобы это выражение соответствовало Т вместо Это и доказывает теорему (в).

Правую часть (а) часто называют работой сил первого состояния (одиночный штрих) на перемещениях второго состояния (двойной штрих).

Если в качестве объемных сил в задачу входят силы инерции, то эта теорема немедленно распространяется на динамический случай.

Статическая форма теоремы имеет много важных приложений. Здесь мы приведем два иллюстративных примера. Другие приложения к задачам о термоупругих напряжениях даются в главе 13.

Рассмотрим сначала однородный стержень, сжатый двумя равными и противоположно направленными силами Р, рис. 140, а.

Рис. 140.

Рис. 141.

Задача отыскания напряжений, вызываемых этими силами, является довольно сложной. Допустим, однако, что нас интересует не напряжение, а полное удлинение стержня 6. На этот вопрос можно ответить, используя теорему взаимности. С этой целью рассмотрим в дополнение к заданному нагружению, представленному на рис. 140, а, простое осевое растяжение стержня, показанное на рис. 140, б. Для этого второго случая найдем поперечное сужение, равное где А — площадь поперечного сечения стержня. Тогда теорема взаимности дает нам уравнение

и удлинение стержня, вызываемое двумя силами Р, приложенными, как показано на рис. 140, а, будет равно

независимо от формы поперечного сечения.

Рассмотрим другой пример. Определим уменьшение объема упругого тела, вызванное двумя равными по величине и противоположными по знаку силами Р (рис. 141, а). В качестве второго состояния рассмотрим состояние, вызванное действием на то же тело равномерно распределенного давления . В этом последнем

случае мы будем иметь в каждой точке тела всестороннее равномерное сжатие величиной (см. уравнение (8)) и расстояние между точками приложения сил А и В уменьшится на величину Применительно к двум состояниям, изображенным на рис. 141, теорема взаимности дает

откуда получаем уменьшение объема тела