§ 101. Кручение круглых валов постоянного поперечного сечения

Согласно элементарной теории кручения круглых валов касательное напряжение в любой точке поперечного сечения (рис. 144) перпендикулярно к радиусу и пропорционально длине и углу закручивания на единицу длины вала, так что

где — модуль упругости при сдвиге. Разлагая это напряжение на две компоненты, параллельные осям х и у, находим

Элементарная теория предполагает также, что

Рис. 144.

Можно показать, что при определенных условиях это элементарное решение является точным. Поскольку компоненты напряжения являются или линейными функциями координат, или равны нулю, достаточно рассмотреть только уравнения равновесия (123) и граничные условия (124). Подставляя выписанные выше выражения для компонент напряжения в уравнения (123), находим, что эти уравнения удовлетворяются, если отсутствуют массовые силы. Боковая поверхность вала свободна от усилий, и граничные условия (124), с учетом того, что для поверхности цилиндра приводятся к виду

Для случая круглого цилиндра, кроме того, имеем

Подставляя эти значения и выражения (б) для компонент напряжения в уравнение (в), легко убедиться, что оно удовлетворяется. Очевидно также, что для поперечного сечения, отличного от кругового, для которого уравнения (г) не соблюдаются, компоненты напряжения (б) не.удовлетворяют граничным условиям (в), и следовательно, решение (а) неприменимо. Такие более сложные задачи кручения будут рассмотрены ниже (см. главу 10).

Рассмотрим теперь граничные условия на концах вала; мы видим, что поверхностные касательные усилия на этих поверхностях должны распределяться в точности также, как и напряжения и туг в промежуточных сечениях вала. Только в этом

случае распределение напряжений, определяемое уравнениями (б), является точным решением задачи. Однако практическое применение данного решения не ограничивается этими случаями. Из принципа Сен-Венана можно сделать вывод, что в длинном закручиваемом стержне на достаточном расстоянии от концов напряжения зависят только от величины крутящего момента и практически не зависят от способа, по которому усилия распределяются на концах стержня.

Перемещения для этого случая можно найти таким же путем, как и в предыдущем параграфе. Приняв те же условия закрепления в точке А, что и в предыдущей задаче, находим

Следовательно, предположение о том, что поперечные сечения остаются плоскими, а радиусы — прямыми, которое обычно делается в элементарной теории кручения, справедливо.