§ 102. Чистый изгиб призматических стержней

Рассмотрим призматический стержень, изгибаемый в одной из главных плоскостей двумя равными и противоположными моментами М (рис. 145).

Рис. 145.

Взяв начало координат в центре тяжести поперечного сечения, а плоскость главной плоскости изгиба, получим следующие значения компонент напряжения, определяемые элементарной теорией:

где — радиус кривизны стержня после изгиба. Подставляя выражения (а) для компонент напряжений в уравнения равновесия (123), получаем, что эти уравнения удовлетворяются при отсутствии объемных сил. Граничные условия (124) для боковой поверхности стержня, которая свободна от внешних сил, также удовлетворяются. Граничные условия (124) по концам требуют, чтобы поверхностные силы распределялись по концам таким образом, как и напряжения Только при таком условии напряжения (а) представляют точное решение задачи. Изгибающий

момент М определяется формулой

в которой — момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси, параллельной оси у. Из этого соотношения находим

хорошо известную формулу элементарной теории изгиба. Рассмотрим теперь перемещения для случая чистого изгиба. Используя закон Гука и уравнения (2), из решения (а) находим

Используя эти дифференциальные уравнения и учитывая условия закрепления стержня, можно таким же путем, как и в § 100, получить перемещения.

Из уравнения (б) имеем

где есть функция только от х и у. Второе и третье из уравнений (г) дают

откуда

Здесь через обозначены неизвестные функции от х и у, которые будут определены далее. Подставляя выражения (д) в уравнения (в), получаем

Эти уравнения должны удовлетворяться для любых значений z, откуда

и после интегрирования

Теперь, подставляя (д) и (ж) в первое из уравнений (г), находим

Заметив, что только первый член в этом уравнении зависит от приходим к выводу, что необходимо выполнение следующих условий:

Эти уравнения и уравнение (е) требуют, чтобы

где — произвольные постоянные. Выражения для перемещений теперь принимают вид

Произвольные постоянные определяются из условий закрепления. Предположим, что закреплены точка А (центр тяжести левого конца стержня), а также элемент оси z и элемент плоскости . Тогда при имеем

Эти условия удовлетворяются, если принять все произвольные постоянные равными нулю. Тогда

Чтобы получить кривую прогибов оси стержня, подставим в уравнения (и). Отсюда

Это совпадает с кривой прогибов, которую дает элементарная теория изгиба.

Рассмотрим теперь произвольное поперечное сечение на расстоянии с от левого конца стержня. После деформации точки этого поперечного сечения будут находиться в плоскости

т. е. при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими, как это предполагается в элементарной теории. Чтобы исследовать деформацию поперечного сечения в его плоскости, рассмотрим стороны (рис. 145,б). После изгиба имеем

Стороны приобретают наклон, как показано на рисунке пунктирными линиями.

Две другие стороны поперечного сечения после изгиба представляются уравнениями

Следовательно, они изгибаются по параболам, которые с достаточной точностью можно заменить дугой окружности радиуса если деформация мала.

Рис. 146.

Если рассмотреть верхнюю и нижнюю грани стержня, то становится очевидным, что после изгиба кривизна этих граней в продольном направлении обращена выпуклостью вниз, а в поперечном направлении — выпуклостью вверх. Горизонтали этой седлообразной поверхности показаны на рис. 146, а. Принимая в первом из уравнений (и) х и у постоянными, находим, что уравнение горизонталей имеет вид

Следовательно, сами горизонтали являются гиперболами с асимптотами

Из этого уравнения для угла а (рис. 146, а) получаем следующее уравнение:

Это уравнение использовалось для определения коэффициента

Пуассона Если верхняя поверхность балки отполирована и на нее положена стеклянная пластинка, то после изгиба между стеклянной пластинкой и криволинейной поверхностью балки создается воздушный просвет переменной толщины. Эти переменные толщины можно замерить оптическим путем. Луч монохроматического света, скажем, желтого света натрия, перпендикулярный поверхности пластинки, будет частично отражаться пластинкой, а частично поверхностью балки. Два отраженных световых луча интерферируют друг с другом в точках, где толщина воздушной прослойки такова, что разность между длинами путей двух этих лучей равна нечетному числу световых полуволн. Таким путем получена картина гиперболических горизонталей, показанная на рис. 146, б.