§ 156. Термоупругие перемещения. Интегральное решение В. М. Майзеля

Термоупругое перемещение в любой точке можно найти, если мырасполагаем решением вспомогательной задачи для напряжений, вызванных сосредоточенной силой, приложенной в этой точке. Рис. 230 изображает упругое тело, опертое таким образом, что оно обладает определенными перемещениями, и нагруженное в точке А силой действующей в направлении оси х. Это означает, что точка А рассматривается как центр малой сферической полости так же, как и в задаче из § 135. Решение этой вспомогательной задачи дает как функцию положения. Она будет пропорциональна и мы можем записать:

так что соответствует нагрузке единичной величины.

Если теперь обратиться к формуле (268), то левая часть этого равенства будет представлять работу силы на термоупругом перемещении и в точке А, сложенную с работой опорных реакций на соответствующих им термоупругих перемещениях. Но сейчас мы потребуем, чтобы эта работа опорных реакций равнялась нулю. Этого можно добиться, например, полностью закрепив опорные точки. Тогда теорема (268) сразу же даст

Рис. 230.

Таким образом, для и получим выражение в виде объемного интеграла по всему объему тела. Сингулярность функции в точке А не порождает никаких трудностей, как можно сразу же видеть, рассмотрев выражение в сферических полярных координатах с центром в точке А. Подобным образом, заменяя в (а) индексы х на у, а затем на z, что соответствует силам в направлениях у и z, получим

Очевидно, точку А можно выбрать на поверхности тела. Тогда во вспомогательной задаче малая сферическая полость заменится малой полусферической (как в задаче из § 138) или какой-либо иной открытой поверхностью.

Решение, представленное выше формулами (б) и (в), имеет очень широкие приложения, так как мы располагаем решениями многочисленных вспомогательных задач о действии сосредоточенных сил. Приближенные результаты для тонких балок, кривых брусьев, колец, тонких пластинок и тонких оболочек также могут использоваться в формулах (б) и (в) для получения соответствующих термоупругих результатов, справедливых для произвольного распределения температуры. При этом предположение о линейном изменении температуры по толщине пластинки или оболочки, которое широко используется, уже перестает быть необходимым.

В качестве примера рассмотрим нормальную компоненту перемещения плоской поверхности полубесконечного тела Возрастание температуры считается четной

функцией от х, т. е. должно быть симметричным относительно плоскости yz, но в остальном может быть произвольным.

В задаче термоупругости (рис. 231, а) мы можем определить в плоскости перемещение любой точки А поверхности относительно ее начального положения, приняв в качестве вспомогательной задачу, представленную на рис. 231, б. Силу приложенную в начале координат, можно отождествить с силой Р на рис. 207 и в § 138.

Рис. 231.

Компоненты напряжения определятся в цилиндрических координатах формулами (211), откуда имеем

где

Таким же образом две направленные вверх силы на рис. 231, б вызовут напряжения, для которых

где — положительные радиусы, определяемые по формулам

Отсюда для полной вспомогательной задачи (рис. 231, б) имеем

Обозначая через нормальное перемещение в точке 0, а через — нормальные перемещения в точках Л и В, по теореме (268) находим

или

Требование равенства нулю работы опорных реакций накладывает на Т некоторое условие. Сила Р вместе с двумя силами (см. рис. 231, б) вызывает напряжения, компоненты которых на бесконечности стремятся к нулю, как Работа, которую совершает на термоупругих перемещениях соответствующая нагрузка, приложенная на бесконечной полусфере, также должна стремиться к нулю. Это гарантируется тем, что и сами термоупругие перемещения стремятся к нулю. Последнее имеет место в том случае, когда ненулевые значения Т действуют в конечном объеме вблизи плоской поверхности, как можно легко убедиться с помощью метода устранения деформаций, разъясненного в § 153 в связи с принципом Сен-Венана.

Для внутренних точек полубесконечного тела вспомогательное решение можно взять из статьи Миндлина, упомянутой в сноске 3 на стр. 400. Для внутренних точек бесконечного тела имеем решение, данное в § 135. Термоупругие перемещения для этой задачи будут найдены ниже (стр. 480—481) другим методом.

Двумерные решения, приведенные в главе 4 для сосредоточенных сил, действующих на полубесконечную область (§ 36), клин (§ 38), круговую область (§ 41) и бесконечную область (§ 42), также полезны в качестве вспомогательных решений, немедленно приводящих к формулам для термоупругих перемещений.

Теорема взаимности теории термоупругости из § 154 может также успешно использоваться в сочетании с методом Фурье для синусоидальной (взамен сосредоточенной) нагрузки. Примеры такого рода приводятся в статье и диссертации, упомянутых в сноске на стр. 466.

ЗАДАЧИ

(см. скан)