§ 142. Соударение шаров
Результаты последних двух параграфов можно использовать при исследовании соударения упругих тел. Рассмотрим, например, соударение двух шаров (рис. 214), движущихся вдоль оси, соединяющей их центры. Как только шары при своем движении по отношению друг к другу придут в соприкосновение в точке О, начнут действовать сжимающие силы Р, которые изменяют скорости шаров. Если обозначить через 
величины этих скоростей, то
их производные в процессе соударения определятся уравнениями
где 
— массы шаров. Обозначим через а расстояние, на которое сближаются шары в результате местного сжатия в точке О. Скорость этого сближения будет равна
и из формул (а) мы находим
Рис. 214.
Для шаров, у которых размеры и свойства различаются не слишком сильно, продолжительность соударения, т. е. время, в течение которого шары сохраняют контакт очень велика по сравнению с периодом низшей формы колебаний шаров. Следовательно, можно пренебречь колебаниями и считать, что уравнение (229), которое было выведено для статических условии, сохраняет силу и при соударении. Используя обозначения
из (229) находим
и уравнение (б) принимает вид
Умножая обе части этого уравнения на а, получаем
откуда после интегрирования
где V — скорость сближения двух шаров в начале удара. Если подставить в это уравнение 
то найдем величину сближения в момент максимальной деформации сжатия. Обозначив эту величину через а, получим
Зная 
мы можем, пользуясь уравнениями (229), вычислить максимальное сжимающее усилие Р, возникающее между шарами в процессе удара, а также соответствующий радиус поверхности контакта.
Для определения продолжительности соударения запишем уравнение (е) в следующей форме:
Обозначая 
и используя уравнение (ж), находим, что
откуда получаем для продолжительности соударения выражение
В частном случае двух одинаковых шаров (сделанных из одного и того же материала) радиуса 
согласно формуле (ж), имеем
где 
— масса единицы объема шара.
Мы видим, что продолжительность соударения пропорциональна радиусу шаров и обратно пропорциональна 
Этот результат был проверен несколькими экспериментаторами. В случае длинных стержней со сферическими концами период основного тона колебаний может быть того же порядка, что и продолжительность соударения и при исследовании местного сжатия в точке контакта эти колебания нужно учитывать.
