§ 20. Определение перемещений

Если из предыдущих уравнений найдены компоненты напряжения, то компоненты деформации можно определить, используя закон Гука, выраженный уравнениями (3) и (6). Тогда перемещения можно получить из уравнений

Интегрирование этих уравнений в каждом частном случае не представляет никаких трудностей, и мы рассмотрим несколько примеров их применения. Сразу же можно видеть, что компоненты деформации, выраженные формулами (а), не меняются, если добавить к и и линейные функции

в которых а, b и с — постоянные. Это означает, что перемещения не определяются полностью напряжениями и деформациями. На перемещения, вызванные внутренними деформациями тела, можно наложить его перемещения как абсолютно твердого тела. Постоянные а и с в уравнениях (б) определяют поступательное движение тела, а постоянная — малый угол вращения абсолютно твердого тела относительно оси

Ранее было показано (см. стр. 49), что в случае постоянных объемных сил распределения напряжений как для плоского напряженного состояния, так и для плоской деформации являются одинаковыми. Однако перемещения для этих двух задач различны, так как в случае плоского напряженного состояния компоненты деформации, входящие в уравнение (а), определяются формулами

тогда как для случая плоской деформации для компонент деформации имеем формулы

Легко проверить, что эти уравнения можно получить из предыдущей системы уравнений для плоского напряженного состояния, если в последних заменить Е на на Такая постановка не меняет выражения для которое сохраняет вид Метод интегрирования уравнений (а) будет дан ниже при рассмотрении конкретных задач.