§ 92. Принцип виртуальной работы

При решении задач теории упругости иногда удобно использовать принцип виртуальной работы. Для случая одной частицы этот принцип гласит, что если частица находится в состоянии равновесия, то полная работа всех сил, действующих на частицу, на любом виртуальном перемещении равна нулю.

Если суть компоненты виртуального перемещения в направлениях - суммы проекций всех сил на эти направления, то принцип виртуальной работы дает

Эти уравнения выполняются для любого виртуального перемещения, если

Обратно, если даны уравнения (б), то, умножая их на произвольные множители получаем (а). При такой трактовке эти произвольные множители можно назвать виртуальными перемещениями. Силы же сохраняют свой прежний смысл.

Упругое тело, находящееся в состоянии покоя под действием массовых и поверхностных сил, представляет собой систему частиц, на каждую из которых действует система сил, находящаяся в равновесии. На любом виртуальном перемещении полная работа всех сил, совершенная над каждой частицей, обращается в нуль, а следовательно, обращается в нуль и полная работа, совершенная всеми силами данной системы.

В качестве виртуального перемещения в случае упругого тела можно принять любое малое перемещение, совместимое с условиями сплошности материала и с условиями, наложенными на перемещения точек поверхности тела, если такие условия заданы. Если, например, задано условие, что некоторая часть поверхности тела (скажем, заделанный конец балки) неподвижна или имеет заданные перемещения, то виртуальное перемещение для такой части поверхности равно нулю.

Обозначим через компоненты действительного перемещения, вызванного нагрузками, а через — компоненты виртуального перемещения. Эти последние могут быть произвольными непрерывными функциями переменных, малыми по абсолютной величине.

Виртуальные перемещения соответствуют приращениям шести компонент деформации, определяемым формулами

а соответствующая виртуальная работа для некоторого элемента объема будет

Согласно формуле (ж) на стр. 256 соотношение (г) эквивалентно выражению

если, согласно (132), считать функцией компонент деформации.

Как уже было установлено, это изменение энергии деформации определяет работу, совершенную против сил взаимодействия между частицами (как и в случае растягиваемых пружин). Чтобы получить работу, совершаемую силами взаимодействия над частицами, нужно поменять знак этой работы на обратный.

Внешние силы слагаются из: 1) краевых поверхностных сил действующих на каждый элемент поверхности dS, и 2) объемных сил действующих на каждый элемент объема или

Утверждение, что полная виртуальная работа для всего тела равна нулю, теперь принимает форму

Поскольку в соотношении (137) заданные внешние силы и действительные компоненты напряжения являются неизменными, знак вариации 6 можно вынести за знак интеграла. Тогда, изменяя всюду знаки на обратные, можно записать

учитывая, что операция варьирования не влияет на силы, записанные в явной форме. Первый интеграл в квадратных скобках представляет собой энергию деформации и, поскольку он равен энергии, накопленной до начала разгрузки, его можно назвать потенциальной энергией деформации. Второй интеграл представляет собой потенциальную энергию объемных сил, значения

которых зафиксированы независимо от . Когда , эта энергия равна нулю. Подобным же образом третий интеграл представляет собой потенциальную энергию поверхностных сил. Все выражение в скобках является, по определению, полной потенциальной энергией системы. Тогда уравнение (137) показывает, что действительные перехмещения до при заданных внешних силах (и заданных условиях закрепления) таковы, что для любого виртуального перемещения первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, или короче, полная потенциальная энергия стационарна.

Термины виртуальное перемещение и виртуальная работа, хотя и имеют исторический смысл, означают не более чем использование произвольных множителей, представленных здесь величинами вместе с уравнениями равновесия. Удобно, как это делалось в предыдущих параграфах, рассматривать их как вариации действительных перемещений до.

Чтобы исследовать устойчивость равновесия, мы можем вообразить импульсные возмущения, которыми следуют действительные вариации равновесных перемещений. Поскольку диссипации энергии нет, сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной. Если при отклонении от равновесной конфигурации потенциальная энергия должна увеличиваться, то кинетическая энергия должна уменьшаться. Однако если потенциальная энергия должна уменьшаться, то кинетичеткая энергия будет возрастать. Эти два случая описываются соответственно как устойчивый и неустойчивый по отношению к малым возмущениям. Устойчивость, очевидно, требует, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия достигала минимума, а неустойчивость — чтобы она была максимальной. При таком использовании потенциальной энергии подразумевается, что в движении, следующем за возмущением: 1) объемные, и поверхностные силы двигаются вместе с элементами материала, на которые они действуют в равновесной конфигурации, и 2) эти силы не меняют ни величины, ни направления.

Рассмотрим снова потенциальную энергию, отнесенную к единице объема для плоского напряженного состояния в форме (134). Вслед за импульсным возмущением компоненты деформации в равновесной состоянии считаются возрастающими за короткий промежуток времени на величины Тогда, на основании (134), новое полное значение будет равно

Вычитая из него равновесное значение, получаемое непосредственно

по формуле (134), находим полное приращение энергии

Здесь первая строчка представляет приращение первого порядка и в точности соответствует формуле (д), если не считать объемного множителя Вторая строчка представляет собой приращение второго порядка и положительна, так как величина в (134) положительна при любых значениях .

В выражение для полной потенциальной энергии, представленное с учетом приведенных выше постулатов 1) и 2) членами в скобках в (137), не входят приращения второго порядка от массовых и поверхностных сил. Приращения первого порядка обращаются в нуль, так как действительные перемещения и, в этом виде возмущения можно принять за виртуальные. Поскольку приращение второго порядка должно быть положительным, состояние является устойчивым в определенном здесь смысле. Мы увидим, что этот вывод связан с использованием закона Гука, а также постулатов 1) и 2). Для нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями возможны приращения порядка выше двух.

Общие соображения относительно полной энергии системы были использованы А. Гриффитсом при развитии его теории разрушения хрупких материалов. Известно, что материалы всегда проявляют намного меньшую прочность, чем можно было бы ожидать на основе анализа молекулярных сил. Для одного из видов стекла Гриффитс обнаружил теоретическую прочность на растяжение порядка тогда как опыты на растяжение со

стеклянными стержнями дали лишь . Гриффитс показал, что это расхождение теории с экспериментом можно объяснить тем, что в таких материалах, как стекло, существуют микроскопические трещины или дефекты, вызывающие высокую концентрацию напряжений, а с нею и дальнейшее распространение трещин. Для вычислительных целей Гриффитс принимает трещину в форме очень узкого эллиптического отверстия, большая ось которого перпендикулярна к направлению растягивающей силы. Рассмотрим пластинку, закрепленную вдоль сторон и растягиваемую равномерно распределенным растягивающим напряжением , приложенным к тем же сторонам (рис. 131). Если в пластинке создать микроскопическое эллиптическое отверстие длиной а стороны фиксировать, то начальная энергия деформации, вызванная растягивающими напряжениями 5, в результате появления отверстия уменьшится. Это уменьшение йожно вычислить, используя решение для эллиптического отверстия (см. § 63) в пластинке единичной толщины. Это уменьшение энергии деформации равно

Рис. 131.

Если трещина удлиняется, происходит дальнейшее уменьшение энергии деформаций, накопленной пластинкой. Однако удлинение трещины означает также увеличение поверхностной энергии, поскольку поверхность твердого тела, как и поверхность жидкости, обладает поверхностным натяжением. Гриффитс обнаружил, например, что для стекла того вида, который он использовал в своих экспериментах, поверхностная энергия на единицу площади поверхности имела порядок Поскольку удлинение трещины требует увеличения поверхностной энергии, которое может быть получено за счет уменьшения энергии деформации, то удлинение может произойти и без увеличения полной энергии. Условие самопроизвольности распространения трещины состоит в равенстве этих двух значений энергии: используя выражение (е), находим

откуда следует, что критическое напряжение

Эксперименты, в которых трещины известной длины создавались с помощью стеклорезного алмаза, оказались в очень хорошем соответствии с уравнением (ж). Было также экспериментально показано, что если принять меры предосторожности для исключения микроскопических трещин, можно получить прочность, намного превышающую обычную. Некоторые стеклянные стержни, испытанные Гриффитсом, показали предел прочности порядка который составляет более половины вышеупомянутой теоретической прочности.

Спорный вопрос о возникновении бесконечного напряжения по концам трещины в теории Гриффитса был снят Г. И. Баренблаттом, который ввел вместо него большое, но конечное напряжение, представляющее атомные силы сцепления.