Глава 7. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛУЧАЕ

§ 74. Введение

Предыдущие главы (исключая предварительное изложение основ теории упругости в главе 1) касались двумерных задач. Настоящая глава, так же как и последующая; посвящена дальнейшим общим вопросам, которые важны для решения рассматриваемых далее задач. В данной главе анализ напряжений полностью отделен от анализа деформаций и не вводятся никакие зависимости между напряжениями и деформациями. Эти результаты приложимы к напряжениям, возникающим в любой (сплошной) среде, например в вязкой жидкости или в пластическом твердом теле, и то же самое справедливо в отношении деформаций.

Рис. 126.

Обратимся к общему случаю распределения напряжений в трех измерениях. Уже было показано (см. § 4), что напряжения, действующие на шести гранях кубического элемента, можно описать шестью компонентами напряжения, а именно тремя нормальными напряжениями их, и тремя касательными напряжениями Если в некоторой точке эти компоненты напряжения известны, то из уравнений статики можно определить напряжения, действующие на любой наклонной площадке, проходящей через эту точку. Пусть О — некоторая точка напряженного тела. Допустим, что нам известны напряжения для координатных плоскостей (рис. 126). Чтобы получить напряжения на некоторой наклонной площадке, проходящей через точку О, рассмотрим плоскость параллельную этой площадке и находящуюся на малом расстоянии от точки О, так что эта плоскость вместе с координатными плоскостями вырезает из тела некоторый очень малый тетраэдр

Поскольку напряжения по объему тела изменяются непрерывно, то напряжения на площадке будут приближаться к напряжениям на параллельной площадке, проходящей через точку О, если устремить к нулю размеры тетраэдра.

При рассмотрении условий равновесия элементарного тетраэдра объемными силами можно пренебречь {см. стр. 25). Далее, в силу того, что элемент очень мал, можно пренебречь изменением напряжений на его гранях и считать что напряжения распределены равномерно. В силу этого усилия, действующие на тетраэдр, можно определить путем умножения компонент напряжения на площади граней. Если обозначить через А площадь грани тетраэдра, то площади трех других граней получаются с помощью проектирования А на три координатные плоскости. Если обозначить через нормаль к площадке и, кроме того, ввести обозначения

то площади трех других граней тетраэдра будут равны

Обозначим через X, Y, Z три компоненты напряжения, параллельные координатным осям и действующие на наклонной площадке тогда компонента усилия, действующего на грани в направлении оси х, равна Аналогично компоненты усилий в направлении оси х, действующие на трех других гранях тетраэдра, равны . Соответствующее уравнение равновесия тетраэдра имеет вид

Подобным же образом, проектируя все силы на оси у и z, можно получить два других уравнения равновесия. После сокращения на множитель А уравнения равновесия тетраэдра можно записать в виде

Таким образом, компоненты напряжения на любой площадке, определяемой направляющими косинусами можно легко найти из уравнений (108), если в точке О известны шесть компонент напряжения .