§ 114. Гидродинамические аналогии
Существует несколько аналогий между задачами о кручении и гидродинамическими задачами о движении жидкости в трубах. Кельвин заметил, что функция 
(см. уравнение (а) § 106),
которая иногда используется в задачах о кручении, тождественно совпадает с функцией тока для некоторого безвихревого движения идеальной жидкости в трубе того же поперечного сечения, что и скручиваемый стержень.
На другую аналогию указал Буссинеск. Он показал, что дифференциальное уравнение и граничное условие для определения функции напряжений 
(см. уравнения (150) и (152)) тождественно совпадают с теми, которые служат для определения скоростей в ламинарном потоке вязкой жидкости по трубе того же сечения, что и скручиваемый стержень.
Рис. 169.
Гринхилл показал, что функция напряжений 
математически тождественна функции тока при движении идеальной жидкости, циркулирующей с постоянной интенсивностью вихря в трубе того же поперечного сечения, что и скручиваемый стержень. Обозначим через и и 
компоненты скорости циркулирующей жидкости в точке А (рис. 169). Тогда из условия несжимаемости идеальной жидкости имеем
Условие постоянной вращательной скорости имеет вид
Принимая
мы удовлетворяем уравнению (а) и из уравнения (б) находим
что совпадает с уравнением (150) для функции напряжений при кручении.
На границе скорость циркулирующей жидкости направлена по касательной к границе, и граничное условие для гидродинамической задачи совпадает с условием (152) для задачи о кручении. Таким образом, распределение скоростей в гидродинамической задаче математически тождественно распределению напряжений при кручении, и, применяя известные в гидродинамике решения, можно получить практически важные выводы.
В качестве первого примера рассмотрим случай малого кругового отверстия в скручиваемом круглом валу (рис. 170). Влияние этого отверстия на распределение напряжений подобно введению неподвижного сплошного цилиндра того же диаметра, что и отверстие, в ноток циркулирующей жидкости гидродинамической модели. Такой цилиндр резко изменяет скорость течения в окрестной к нему области.
Рис. 170.
Скорости в точках перед цилиндром и за ним снижаются до нуля, тогда как скорости в боковых точках 
удваиваются. Следовательно, отверстие такого вида удваивает касательные напряжения в той части вала, в которой оно расположено. Малый полукруглый надрез на поверхности, параллельный оси вала (рис. 170), производит тот же эффект. Касательное напряжение на дне надреза в точке 
примерно вдвое превышает напряжение на поверхности вала в точках, достаточно удаленных от надреза. Та же гидродинамическая аналогия объясняет влияние малого отверстия эллиптического сечения или полуэллиптического надреза. Если одна из главных осей а малого эллиптического отверстия расположена в радиальном направлении, а другая ось равна 
, то напряжения на границе отверстия по концам оси а увеличиваются в пропорции 
. Максимальное напряжение, действующее в этом случае, зависит, таким образом, от величины отношения 
Влияние отверстия на напряжение будет больше, когда большая ось эллипса расположена в радиальном направлении, по сравнению со случаем, когда она расположена в окружном направлении. Поэтому радиальные трещины оказывают существенное ослабляющее влияниё на прочность вала. Подобное влияние на распределение напряжений оказывает и полуэллиптический надрез на поверхности, параллельной оси вала.
Из гидродинамической аналогии можно также сделать вывод, что в выступающих углах поперечного сечения скручиваемого стержня касательные напряжения равны нулю, а на входящих углах они теоретически становятся бесконечно большими, т. е. даже самый малый крутящий момент вызывает здесь течение
материала или трещину. Следовательно, в случае прямоугольной шпоночной канавки высокая концентрация напряжения имеет место у входящих углов на дне канав. Эти высокие напряжения можно понизить путем закругления углов.
