§ 164. Общая двумерная задача. Решение в комплексных потенциалах

Мы уже видели, что любой потенциал перемещений V, соответствующий заданному распределению температуры Т и дающий непрерывное поле перемещений, приводит задачу к виду, в котором имеется лишь нагрузка на границе тела. Следовательно, если найден соответствующий потенциал перемещений, то можно воспользоваться комплексными потенциалами как это делалось в главе 6 для плоской деформации и плоского напряженного состояния.

Обозначая этот потенциал через Р и считая его функцией только от х и у, для плоской деформации получаем

а потенциал должен удовлетворять уравнению (е) § 162, т. е.

Температура Т должна быть, разумеется, функцией одних лишь переменных х и у. Как и в главе 6, записываем здесь Кроме того,

Если подставить эти выражения в то получаем функцию . Таким образом,

Формально мы можем взять частные производные

несмотря на то, что мы не можем изменить как координату точки на плоскости не изменив в то же время Мы можем также ввести неопределенные интегралы

а также

Сразу же можно показать, что соответствующая форма потенциала перемещений имеет вид

Из него следуют перемещения и напряжения в виде

Это состояние создается нагрузками на границе тела, которые можно определить по только что приведенным формулам и заданному распределению температуры Т. Задача о действии равной по величине и противоположной по знаку нагрузки на криволинейной или боковой поверхностях может быть затем решена с помощью комплексных потенциалов для случая плоской деформации без учета объемных сил, как это описывалось в главе 6.

Для вывода уравнений (и) и (к) сначала заметим, что, согласно формулам (г),

Отсюда

и, если применить к последнему уравнению операцию то находим

Здесь Т — произвольная функция от х и у. Таким образом, мы можем подставить последний результат в левую часть уравнения (б), а в его правую часть подставить уравнение (г). В результате имеем

где

Интегрируя уравнение (н) по 2, фиксируя 2, получаем

В соответствии с первым из уравнений (а) и вторым из уравнений (м) находим

откуда следует первое из уравнений (к).

Неопределенный интеграл в правой части уравнения (п) снова является функцией от Интегрирование по если фиксировать дает

что эквивалентно уравнению (и). Никакие произвольные функции при интегрировании не вводятся, так как нам требуется лишь простейшее решение уравнения (б) или Чтобы вывести второе из уравнений (к), обратимся к зависимостям между напряжениями и деформациями для случая плоской деформации. Их можно получить из трехмерных форм, приведенных в § 153, если учесть, что для плоской деформации а также Первые два из трех уравнений (в) из § 153 имеют вид

Отсюда, поскольку имеем

Однако уравнения (а) и (б) этого параграфа показывают, что для состояния, полученного из потенциала перемещений мы должны иметь

С учетом этого и зависимости между упругими постоянными, описываемой уравнениями (5) и (10), уравнение принимает вид

С учетом уравнения (г) это соотношение совпадает со вторым из уравнений

Чтобы убедиться в справедливости третьего из уравнений, (к), начнем с первого из них и применим к его правой части операцию а к левой — равносильную операцию Тогда получим

Но из уравнений имеем

В левой части уравнения выражение в скобках есть уху. В правой части мы можем при соответствующих ограничениях на функцию применить к ней операцию дифференцирования. Тогда примет вид

а это совпадает с третьим из уравнений