§ 41. Напряжения в круглом диске

Начнем с простого случая двух равных по величине и противоположных по знаку сил Р, действующих вдоль диаметра (рис. 75). Предполагая, что каждая из этих сил вызывает простое радиальное распределение напряжений (уравнения (65)), мы можем найти силы, которые следует приложить на границе диска, чтобы создать такое распределение напряжений. В любой точке М окружности диска мы имеем сжатия в направлениях равные соответственно Поскольку отрезки перпендикулярны друг к другу и

где — диаметр диска, мы приходим к заключению, что два главных напряжения в точке М являются двумя равными сжимающими напряжениями величины Следовательно, по любой площадке, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскости диска, будут действовать такие же сжимающие напряжения. Таким образом, чтобы создать предполагаемые два простых радиальных распределения напряжений, нужно по окружности диска приложить нормальные сжимающие усилия интенсивностью

Рис. 75.

Если граница диска свободна от внешних усилий, напряжения в любой точке получаются путем наложения однородного растяжения в плоскости диска величиной на два простых радиальных распределения напряжений. Рассмотрим напряжения в горизонтальном диаметральном сечении диска в точке Из условия симметрии можно сделать вывод, что в этой плоскости не будет касательных напряжений. Нормальное напряжение, вызываемое двумя равными, сжимающими усилиями, равно

где — расстояние - угол между и вертикальным диаметром. Налагая на это распределение напряжений однородное растяжение получаем полное нормальное напряжение на горизонтальной плоскости в точке в виде

или, используя тот факт, что

получаем

Максимальное сжимающее напряжение вдоль диаметра действует в центре диска, где

На концах диаметра сжимающее напряжение обращается в нуль.

Рис. 76.

Рассмотрим теперь случай двух равных по величине и противоположных по знаку сил, действующих вдоль хорды (рис. 76). Предположим снова существование двух радиальных простых распределений, исходящих из точек А и В, а напряжения в плоскости, касательной к границе диска в точке М, получим с помощью наложения двух радиальных сжатий действующих в направлениях Нормаль к касательной в точке М является диаметром диска; отсюда треугольники и являются прямоугольными и углы, которые образуют нормаль с равны соответственно Нормальные и касательные напряжения, действующие на элемент границы в точке М,

определяются по формулам

Эти уравнения можно упростить, если учесть, что из треугольников следует

Подставляя эти значения в уравнения (в), находим

Из уравнения (76) видно, что значение вдоль границы остается постоянным. Следовательно, чтобы вызвать предполагаемое радиальное распределение напряжений, к границе нужно приложить равномерно распределенные сжимающие усилия интенсивностью Чтобы получить решение для диска, границы которого свободны от сжимающих усилий, нужно только наложить на вышеописанные два простых радиальных распределения напряжений однородное растяжение интенсивностью

Рис. 77.

Задача о распределении напряжений в диске может быть решена и для более общего случая, когда на границе диска действует любая самоуравновешенная система усилий

Рассмотрим одну из сил, действующих в точке А в направлении хорды (рис. 77). Задаваясь вновь простым радиальным распределением напряжений, имеем в точке М простое радиальное сжатие с интенсивностью действующее в направлении Примем начало полярных координат в точке О в центре диска, а угол будем измерять, как показано на рисунке. Нормальные и касательные компоненты напряжений, действующие на элемент, касательный к границе в точке М, можно легко найти, если учесть, что угол между нормалью к элементу и направлением сжатия

равен Отсюда

Так как из треугольника имеем уравнения (д) можно записать в форме

Эти напряжения, действующие на элемент, касательный к границе в точке М, можно получить путем наложения трех следующих напряженных состояний:

1. Нормальных напряжений, равномерно распределенных вдоль границы

2. Касательных напряжений, равномерно распределенных вдоль границы

3. Напряженного состояния, в котором нормальная и касательная компоненты определяются формулами

Учитывая, что угол между силой Р и касательной в точке М равен можно сделать вывод, что напряжение (к) имеет величину и действует в направлении, противоположном силе Р.

Допустим теперь, что на диск действует несколько усилий и что каждое из них вызывает простое радиальное распределение напряжений. Тогда усилия, которые должны быть приложены к границе, чтобы вызвать такое распределение напряжений, будут следующими:

1. Равномерно распределенное вдоль границы нормальное усилие с интенсивностью

2. Касательное усилие с интенсивностью

3. Усилие, интенсивность и направление которого получаются в результате векторного суммирования выражений (к). Суммирование должно распространяться на все силы, действующие вдоль границы.

Момент всех внешних сил относительно точки О, согласно рис. 77, равен

а поскольку, для того чтобы система находилась в равновесии, этот момент должен быть равен нулю, мы приходим к выводу, что касательные усилия (м) равны нулю. Усилие, получаемое путем суммирования напряжений (к), пропорционально векторной сумме внешних усилий и также должно быть равно нулю, если система находится в равновесии. Следовательно, чтобы получить простое радиальное распределение к границе диска, необходимо приложить

только равномерное сжатие (л). Если гранича свободна от равномерного сжатия, напряжения в любой точке диска находятся путем наложения на предполагаемое простое радиальное распределение равномерного растяжения интенсивности

Используя этот общий метод, легко получить другие случаи распределения напряжений в круглых дисках. Рассмотрим, например, случай пары, действующей на диск (рис. 78) и уравновешиваемой другой парой, приложенной в центре диска. Задаваясь двумя одинаковыми радиальными распределениями напряжений в точках А и В, мы видим, что в этом случае интенсивность нормальных усилий и сумма напряжений (к) равны нулю, и для создания простого радиального распределения напряжений требуется приложить лишь касательные усилия Интенсивность этих усилий, согласно (м), равна

где — момент пары. Чтобы освободить границу диска от касательных усилий и перенести пару, уравновешивающую момент от двух сил Р, с окружности диска в его центр, нужно наложить на простое радиальное распределение напряжения, отвечающие случаю, показанному на рис. 78, б. Эти последние напряжения, вызываемые чистым сдвигом, приложенным к окружности, можно вычислить, если учесть, что для каждой концентрической окружности радиуса касательные напряжения должны давать момент Отсюда

Рис. 78.

Эти напряжения также можно вывести из общих уравнений (38), приняв функцию напряжений в виде

откуда