§ 125. Дополнительные результаты
Рассмотрим поперечное сечение, граница которого состоит из двух вертикальных сторон 
(рис. 192) и двух гипербол
Рис. 192.
Легко показать, что правая часть уравнения (183) обращается на контуре в нуль, если принять
Подставляя это выражение в уравнение (182), находим
Это уравнение и граничное условие (183) удовлетворяются, если положить 
Тогда компоненты касательного напряжения, согласно формулам (181), равны
В каждой точке поперечного сечения полное касательное напряжение направлено по вертикали. Это напряжение достигает максимума посередине вертикальных сторон поперечного сечения и определяется формулой
Задачу можно также решить, если контур поперечного сечения определяется уравнением
При 
этот контур имеет вид, изображенный на рис. 193. Если принять
То левая часть граничного условия (183) обращается в нуль; таким образом, вдоль границы функция 
должна быть постоянной. Уравнение (182)
принимает вид
Это уравнение и граничное условие удовлетворяются, если положить 
Подставляя это выражение в формулы (181), находим
К тому же результату можно прийти и другим путем. При исследовании напряжений в прямоугольной балке, ширина которой велика по сравнению с высотой, мы использовали в качестве приближенного решения для функции напряжений (уравнение (ж) § 124) выражение
из которого можно вывести выражения (в) для компонент напряжения.
Уравнение контура можно найти из условия, что на границе касательное напряжение совпадает по направлению с касательной к контуру. Отсюда
Рис. 193.
Рис. 194.
Подставляя сюда значения напряжений из (в) и интегрируя полученное дифференциальное уравнение, приходим к следующему уравнению контура:
Используя энергетический метод (§ 124), можно прийти к приближенному решению для многих других случаев. Рассмотрим, например, поперечное сечение, показанное на рис. 194. Вертикальные стороны контура определяются уравнением 
а две другие стороны являются дугами окружности
Правая часть уравнения (183) обращается в нуль, если
Тогда приближенное выражение для функции напряжений примет вид
где коэффициенты А, В, ... подлежат определению из условия минимума потенциальной энергии.
Для многих форм поперечных сечений решения были получены с использованием полярных и других криволинейных координат и функций комплексной переменной. Сюда входяг задачи для сечений, ограниченных двумя окружностями, концентрическими и неконцентрическими, окружностью с
радиальной щелью, кардиоидой, улиткой Паскаля, эллиптической улиткой Паскаля, двумя софокусными эллипсами, эллипсом и софокусными гиперболами, треугольниками и многоугольниками, включая прямоугольник со щелью и сектором кругового кольца.
