§ 78. Инварианты напряжений

Считая, что напряженное состояние задано, т. е. заданы главные напряжения и главные оси, мы можем, разумеется, описать его с помощью компонент напряжения в любой системе координат х, у, z. Вне зависимости от выбора ориентации этих осей уравнение (114) должно дать для те же самые три корня. Следовательно, и коэффициенты этого уравнения должны быть всегда одними и теми же. В качестве осей х, у, z можно выбрать сами главные оси. Тогда величины будут равны (в том или ином порядке), а будут равны нулю. Отсюда инвариантные значения коэффициентов в уравнении (114) определяются выражениями

Выражения в левых частях уравнений называются инвариантами напряжений. Очевидно, из них можно сформировать и другие инварианты. Обозначая выражения в левых частях (а), (б) и (в) соответственно через легко проверить, что

Следовательно, выражение в левой части этого уравнения также является инвариантом. Он встретится нам позже при исследовании энергии деформации.