§ 107. Мембранная аналогия

При решении задач о кручении очень ценной оказалась мембранная аналогия, введенная Прандтлем. Представим себе однородную мембрану (рис. 158), опертую по краю того же очертания, что и поперечное сечение скручиваемого стержня. Мембрана находится под действием равномерного натяжения, приложенного по краю, и равномерного поперечного давления. Если обозначить через давление на единицу площади мембраны, а

через равномерное натяжение на единицу длины ее границы, то растягивающие усилия, действующие по сторонам малого элемента (рис. 158), дадут в случае малых прогибов мембраны результирующую в вертикальном направлении, равную Аналогично, усилия, действующие по двум другим сторонам, дадут результирующую и уравнение равновесия элемента примет вид

откуда

На границе прогибы мембраны равны нулю. Сравнивая уравнение (159) и граничное условие для прогиба мембраны z с уравнением (150) и граничным условием (152) (см. стр. 303) для функции напряжений приходим к выводу, что эти две задачи тождественно совпадают.

Рис. 158.

Рис. 159.

Отсюда по прогибам мембраны мы можем получить значения функции с помощью замены величины — из уравнения (159) на величину из уравнения (150).

Имея упругую поверхность мембраны, представленную горизонталями (рис. 159), можно получить несколько важных выводов, касающихся распределения напряжений при кручении. Рассмотрим произвольную точку В мембраны. Прогибы мембраны вдоль горизонтали, проходящей через эту точку, остаются постоянными, и мы имеем

Соответствующее уравнение для функции напряжений имеет вид

Оно выражает тот факт, что проекция результирующего касательного напряжения в точке В на нормаль к горизонтали равна нулю и, следовательно, мы можем сделать вывод, что касательное напряжение в точке В скручиваемого стержня действует в направлении касательной к горизонтали, проходящей через эту точку. Кривые, построенные на поперечном сечении скручиваемого стержня таким образом, что результирующее касательное напряжение в любой точке кривой действует в направлении касательной к этой кривой, называются траекториями касательных напряжений. Таким образом, для поперечного сечения скручиваемого стержня горизонтали мембраны являются траекториями касательных напряжений.

Значение касательного напряжения в точке В (рис. 159) получается с помощью проектирования на касательную компонент напряжения . Отсюда

Подставляя в это выражение

получаем

Отсюда величина касательного напряжения в точке В определяется максимальным наклоном поверхности мембраны в этой точке. Нужно только в выражении для наклона заменить на Отсюда можно сделать вывод, что максимальное касательное напряжение действует в точках, где горизонтали расположены ближе всего друг к другу.

Из равенства (153) можно сделать вывод, что если заменить на то удвоенный объем, ограниченный изогнутой мембраной и плоскостью (рис. 159), определит величину крутящего момента.

Заметим, что форма мембраны, а следовательно, и распределение касательных напряжений, не зависят от того, какая точка поперечного сечения выбирается в качестве начала координат. Эта точка представляет, разумеется, ось вращения поперечного сечения. На первый взгляд кажется неожиданным, что поперечные сечения могут вращаться вокруг различных параллельных осей при одном и том же крутящем моменте. Однако это различие связано просто с вращением абсолютно твердого тела. Рассмотрим, например, круговой цилиндр, скручиваемый путем вращения его концевых сечений вокруг центральной оси. Образующая цилиндра на поверхности становится наклонной по отношению к ее первоначальному положению, но может быть приведена в прежнее положение с помощью вращения всего цилиндра как абсолютно

твердого тела вокруг диаметра. Тогда конечные положения поперечных сечений цилиндра отвечают повороту вокруг этой образующей как фиксированной оси. Эти поперечные сечения остаются плоскими, но будут наклонены по отношению к своему первоначальному положению благодаря вращению цилиндра как абсолютно твердого тела. В каждом сечении цилиндра произойдет депланация, и при заданном выборе осей наклон заданной элементарной площадки в концевом сечении будет определенным, причем определятся уравнениями (г) и (б) из § 104. Такой элемент можно привести к его первоначальной, ориентации с помощью вращения цилиндра как твердого тела относительно оси, лежащей в концевом сечении. Таким образом, это вращение приведет к параллельному переносу оси кручения. Следовательно, можно найти ось кручеююя или центр кручения, если задана конечная ориентация некоторого элемента площад» концевого сечения, например, если этот элемент полностью закреплен.

Рассмотрим теперь условия равновесия части мембраны, ограниченной горизонталью (рис. 159). Наклон поверхности мембраны вдоль этой линии пропорционален в каждой точке касательному напряжению х и равен Обозначая через А горизонтальную проекцию части мембраны получаем уравнение равновесия для этой части в виде

или

Отсюда можно получить среднее значение касательного напряжения вдоль горизонтали.

Полагая т. е. считая, что на мембрану не действует поперечная нагрузка приходим к уравнению

которое совпадает с уравнением (б) для функции из предыдущего параграфа. Принимая ординаты мембраны на границе такими, что

можно также удовлетворить граничному условию (в) предыдущего параграфа. Таким образом, если ординаты поверхности мембраны на границе имеют определенные значения, то функцию можно определить на изогнутой поверхности ненагруженной мембраны. Ниже будет показано, что для определения экспериментальным путем поля напряжений в скручиваемых стержнях могут использоваться как нагруженная, так и ненагруженная мембраны.

Мембранная аналогия полезна, не только если скручиваемый стержень находится в пределах упругости на и в случае, когда в некоторых частях поперечного сечения происходит течение

материала. Допустим, что в процессе течения касательное напряжение остается постоянным. Тогда распределение напряжений в упругой области поперечного сечения, как и ранее, представляется прогибами мембраны; однако в пластической области напряжение будет определяться поверхностью, имеющей постоянный максимальный наклон, соответствующий пределу текучести. Вообразим такую поверхность в виде крыши, расположенной над поперечным сечением стержня, в то время как мембрана растянута и нагружена вышеописанным образом. При увеличении давления мы придем к условиям, при которых мембрана начнет касаться крыши. Это будет соответствовать началу пластического течений стержня. По мере увеличения давления отдельные части мембраны придут в соприкосновение с крышей. Эти соприкасающиеся части дадут нам области пластического течения скручиваемого стержня. Интересные эксперименты, иллюстрирующие эту теорию, провел Надаи.