§ 152. Сфера

Рассмотрим теперь простой случай, когда распределение температуры симметрично относительно центра и является в силу этого функцией одного лишь радиального расстояния .

В силу симметрии ненулевыми будут лишь три компоненты напряжения, радиальная компонента ог и две окружные компоненты оь как и в § 136. Они должны удовлетворять условию равновесия элемента шара в радиальном направлении (см. рис. 205, уравнение (д), стр. 397)

Зависимости между напряжениями и деформациями имеют вид

Если — радиальное перемещение, то имеем

Из (б) и (в) находим

Подставляя эти выражения в (а) и заменяя значениями, даваемыми формулами (г), получаем для и следующее дифференциальное уравнение:

которое можно переписать в виде

Его решение имеет вид

где и — постоянные интегрирования, которые подлежат определению из граничных условий, а а — любой удобный нижний предел интегрирования, например внутренний радиус полого шара.

Подставляя это решение в формулы (г) и используя затем выражения (д) и (е), получим

Рассмотрим теперь несколько частных случаев.

Сплошная сфера. В этом случае нижний предел интеграла а можно считать равным нулю. При мы должны иметь

откуда

Это означает, что в уравнении (и) мы должны отбросить член, содержащий Компоненты напряжения, определяемые формулами (к) и (л), будут теперь конечными в центре сферы, поскольку

где - температура в центре. Постоянная определяется из условия, что внешняя поверхность свободна от усилий, в силу чего Тогда из уравнения (к), полагая находим

а компоненты напряжений выразятся формулами

Средняя температура сферы внутри радиуса составит

Следовательно, напряжение при любом радиусе пропорционально разности между средней температурой всей сферы и средней температурой сферы радиуса Если это распределение температуры известно, то определение напряжений в каждом частном случае произвести нетрудно. Интересный пример таких вычислений дал Грюнберг в связи с исследованием прочности изотропных материалов, подвергнутых всестороннему равномерному растяжению. Если сплошную сферу, имеющую постоянную температуру поместить в жидкость с более высокой

температурой то внешняя часть сферы будет расширяться и вызовет в ее центре всестороннее равномерное растяжение. Максимальное значение этого растягивающего напряжения возникнет в момент времени

Здесь - радиус шара, — коэффициент теплопроводности, с — теплоемкость материала, — плотность. Величина этого максимального растягивающего напряжения определится формулой

Максимальное сжимающее напряжение действует на поверхности шара в момент приложения температуры и равно Ту же величину мы получили ранее для цилиндра (см. стр. 450). Применяя уравнения (м) и (н) к случаю стали и принимая получаем сек.

Сфера с полостью в центре. Обозначив через а и внутренний и внешний радиусы сферы, определим постоянные в (к) и (л) из условий, что напряжение на внутренней и внешней поверхностях равно нулю. Тогда из формулы (к) имеем

Решая эти уравнения относительно и внося результаты в выражения (к) и (л), находим

Таким образом, если задано распределение температуры, то можно определить и компоненты напряжений.

Рассмотрим в качестве примера случай стационарного теплового потока. Обозначим температуру внутренней поверхности через температуру внешней поверхности примем равной нулю. Тогда температура на любом расстоянии от центра сферы определится формулой

Подставляя это значение в выражения (263), находим

Мы видим, что напряжение равно нулю при Оно становится максимальным или минимальным, когда

Напряжение при увеличивается с ростом При имеем

При получаем

В случае сферической оболочки малой толщины можно принять

где — малая величина. Подставляя это значение в и пренебрегая выешими степенями получаем:

при

при

Если пренебречь величиной то приходим к тем же значениям для тангенциальных напряжений, которые мы получили для тонкой цилиндрической оболочки (см. уравнения (260)) и для тонкой пластинки с заделанными краями.