§ 43. Обобщенное решение двумерной задачи в полярных координатах

Исследовав несколько частных случаев двумерных задач в полярных координатах, мы можем теперь выписать более общую функцию напряжений в виде следующего ряда:

Первые три члена в первой строке этого выражения представляют решение для распределения напряжений, симметричного относительно начала координат

(см. § 28). Четвертый член дает распределение напряжений для случая, представленного на рис. 58. Пятый член дает решение для чистого сдвига (рис. 78, б). Первый член во второй строке представляет простое радиальное распределение для силы, приложенной в направлении Остальные члены второй строки представляют решение для части кругового кольца, изгибаемого радиальной силой (рис. 46). Комбинация всех членов второй строки дает решение для силы, действующей в бесконечной пластинке (§ 42). Аналогичные решения получаются также из третьей строки выражения (80), с той лишь разницей, что направление силы изменяется на . Остальные члены выражения (80) представляют решения для касательных и нормальных сил, пропорциональных действующих на внутренней и внешней границах кругового кольца. Пример такого рода мы имели при исследовании распределения напряжений вокруг малого кругового отверстия (§ 35).

Одних граничных условий не всегда достаточно для определения всех коэффициентов ряда (80). Иногда требуется дополнительное исследование перемещений. Рассмотрим полное кольцо с заданными интенсивностями нормальных и кольцевых усилий, задаваемыми следующими рядами Фурье:

где постоянные определяются обычным путем, исходя из заданного распределения усилий ни границе (см. стр. 73). Определяя компоненты напряжения из выражения (80) с использованием равенств (38) и сравнивая значения этих компонент при с теми, которые дают уравнения (а), получаем достаточное число уравнений для определения коэффициентов во всех случаях для 2. Для т. е. для членов, входящих в первую строку выражения (80) и для т. е. для членов второй и третьей строк, требуются дополнительные исследования.

Если в качестве функции напряжений принята первая строка выражения (80), постоянная определяется величиной касательных усилий, равномерно распределенных вдоль границ (см. стр. 140). Распределение напряжений, которое дает член, содержащий многозначно (см. стр. 119) и для полного кольца мы принимаем Для определения остальных трех постоянных имеется только два уравнения

Добавочное уравнение для определения этих постоянных получается из рассмотрения перемещений. Перемещения в полном кольце должны быть однозначной функцией 0. Проведенное ранее исследование показывает (см. § 28), что это условие выполняется, только если положить Тогда оставшиеся

две постоянные определяются из двух приведенных выше граничных условий.

Рассмотрим теперь подробнее члены, для которых . Для определения восьми постоянных входящих во вторую и третью строки выражения (80), мы находим компоненты напряжений используя эту часть функции Затем, используя условия (а) и приравнивая соответствующие коэффициенты при на внутренней и внешней границах, получаем следующие восемь уравнений:

Сравнивая уравнения (б) с (в), можно видеть, что они совместны лишь в том случае, когда

откуда следует, что

Можно показать, что если силы, действующие на кольцо находятся в равновесии, уравнения (д) удовлетворяются всегда. Принимая, например, что сумма компонент всех сил в направлении оси х равна нулю, находим

Подставляя сюда выражения для и из уравнений (а), приходим к первому из уравнений (д). Таким же путем, проектируя все силы на ось у, приходим ко второму уравнению (д).

Если определены из уравнений (г), две системы уравнений (б) и (в) тождественно совпадают, и для определения оставшихся шести постоянных мы имеем только четыре уравнения. Необходимые два дополнительных уравнения получаются из рассмотрения перемещений. Члены во второй строке выражения (80) представляют функцию напряжений для некоторой комбинации простого радиального распределения и поля напряжений изгиба в криволинейном стержне (рис. 46). Накладывая общие выражения для перемещений в этих двух случаях, а именно используя уравнения (ж) (стр. 100) и (стр. 102) и подставляя вместо вместо D в находим следующие многозначные члены в выражениях для перемещений

Для полного кольца, если напряжения вызываются лишь нагрузкой на границах, эти члены должны обращаться в нуль. Отсюда или

Аналогично из третьей строки выражения (80), имеем

Уравнений (е) и (ж) вместе с уравнениями (б) и (в) теперь достаточно для определения всех постоянных в функции напряжений, представленных второй и третьей строками выражения (80).

Мы приходим к заключению, что в случае кольца задание граничных условий (а) недостаточно для определения распределения напряжений и необходимо также рассматривать перемещения. Перемещения в кольце должны быть однозначными, и, чтобы это условие выполнялось, нужно положить

Мы видим, что постоянные зависят от коэффициента Пуассона. В силу этого распределение напряжений в кольце обычно зависит от упругих характеристик материала. Оно становится не зависящим от упругих констант только в том случае, когда коэффициенты обращаются в нуль, откуда, согласно уравнению (81), Этот частный случай имеет место, когда (см. уравнения Мы имеем такое условие, когда результирующая всех сил, приложенных как к внутренней, так и внешней границе кольца, равна нулю. Возьмем, например, результирующую компоненту в направлении х сил, приложенных к границе . Эта компонента, согласно (а), равна

Рис. 84.

Если она обращается в нуль, то Таким же путем, проектируя силы на направление у, получаем если сумма проекций сил на ось у равна нулю. Отсюда можем сделать вывод, что распределение напряжений в кольце не зависит от упругих констант материала, если результирующие всех сил, приложенных к каждой границе, равны нулю. Момент этих сил не обязательно должен быть равным нулю.

Эти выводы, сделанные для случая круглого кольца, сохраняют силу также в самом общем случае двумерной задачи для многосвязного тела. Из общего исследования, которое провел Мичелл следует, что для многосвязных тел (рис. 84) уравнения, аналогичные уравнениям (81) и выражающие условие однозначности перемещений, нужно вывести для каждого контура в отдельности, такого, как контура А и В на рисунке. Распределение напряжений в таких телах в общем случае зависит от упругих констант материала. Оно не зависит от этих констант только в том случае, когда результирующие усилий на каждом контуре обращаются в нуль. Количественно влияние

упругих констант на максимальные напряжения обычно мало, и на практике им можно пренебречь. Этот вывод имеет практическую ценность. Позже мы увидим, что для прозрачных материалов, таких, как стекло и бакелит, можно определять напряжения оптическим методом, используя поляризованный свет (см. стр. 162), а полученный вывод означает, что результаты, найденные для прозрачных материалов, можно сразу же применять при тех же внешних усилиях для любого другого материала, например для стали.