§ 63. Эллиптическое отверстие в пластинке, подвергнутой одноосному растяжению

В качестве второй задачи рассмотрим бесконечную пластинку под действием одноосного растягивающего напряжения действующего в направлении, составляющем угол с положительной осью х (рис. 118). Это напряженное состояние возмущается эллиптическим отверстием, главная ось которого, как и в предыдущей задаче, направлена вдоль оси х. Частным случаем служит задача для отверстия, главная ось которого Перпендикулярна либо параллельна направлению растяжениях). Однако более общая задача при решении ее предлагаемым методом является не более трудной. Из ее решения мы можем найти влияние эллиптического отверстия на любое однородное плоское напряженное состояние, определяемое главными напряжениями на бесконечности, имеющими любую ориентацию относительно отверстия.

Рис. 118.

Пусть — декартовы оси, полученные поворотом оси на угол при котором эта ось становится параллельной направлению растяжения 5. Тогда уравнения (92) и (93) дают

Поскольку на бесконечности то получаем

а из уравнений (87) и (89)

На границе отверстия должно быть

Всем этим граничным условиям можно удовлетворить, взяв в виде

где А, В, С, D и Е — подлежащие определению постоянные.

Так как то в выражении для член равен просто Его вклад в функцию напряжений (84) выразится в виде члена или Он равен нулю, если А—мнимое число, следовательно, А можно сразу же считать действительным числом. Постоянная С также должна быть равной нулю. Действительно, если мы подставим в уравнение (91) вышеприведенные выражения для принимая в качестве кривой замкнутый контур, окружающий отверстие, то найдем, что все члены, исключая член, содержащий С, равны нулю, так как гиперболические функции являются периодическими по с периодом Член, содержащий С, имеет вид Он обращается в нуль на замкнутом контуре только в том случае, если С—действительное число.

Постоянные и Е являются комплексными, и можно записать

Подстановка полученных выражений для в условия (а) дает

Вычитая уравнение (97) из уравнения (96), для получаем

На границе отверстия Если внести это значение в члены и разложить функции то выражение в квадратных скобках примет вид

Это выражение, а следовательно и на границе отверстия, обращается в нуль, если обращаются в нуль все коэффициенты при . Таким образом, мы получаем три уравнения, которые вместе с двумя уравнениями (в) должны удовлетворяться постоянными А, В, С, D, Е. Поскольку постоянные А и С действительны, то на самом деле девять уравнений должны удовлетворяться при подстановке восьми постоянных А, С, а также причем последние шесть постоянных определяют действительные и мнимые части В, D и Е. Эти уравнения непротиворечивы и их решение имеет вид

Таким образом, комплексные потенциалы этой задачи даются формулами

Перемещения теперь можно найти из уравнения (98). Легко видеть, что они однозначны.

Напряжение на границе отверстия можно получить из уравнения (96), положив в нем равным нулю. Отсюда

Когда растягивающее усилие действует под прямым углом к главным осям получаем

и наибольшее значение, получающееся на концах главной оси. где определяется выражением

Если отверстие все более сужается, это выражение неограниченно увеличивается. При оно совпадает со значением найденным для кругового отверстия (стр. 107). Наименьшее значение напряжения около эллиптического отверстия равно , причем оно действует на концах малой оси. То же значение получается и для кругового отверстия.

Если растягивающее усилие параллельно большой оси максимальное значение на контуре отверстия

возникает на концах малой оси, и равно . Когда эллипс становится очень узким, оно приближается к На концах большой оси при любых значениях напряжение равно

Влияние эллиптического отверстия на состояние чистого сдвига параллельного осям легко найти с помощью суперпозиции двух случаев растяжения с усилием при и при Отсюда

На концах большой и малой осей эллипса это выражение обращается в нуль, а наибольшее значение

оно имеет в точках, определяемых координатами Когда эллипс очень узок, эти значения весьма велики и точки, в которых они действуют, близки к концам большой оси. Имеются решения для эллиптического отверстия в пластинке, находящейся под действием чистого изгиба в своей плоскости и параболического распределения касательных усилий, которое возникает в тонкой балке прямоугольного сечения, для эллиптического отверстия с равными и противоположными по знаку сосредоточенными силами, приложенными по концам малой оси, а также для жесткого и упругого включений, заполняющих отверстие в растянутой пластинке. Рассматривались и более общие виды решений в форме рядов для действительной функции напряжений в эллиптических координатах. Эквивалентные им комплексные потенциалы можно построить из функций, использованных или упомянутых здесь вместе с аналогом простых функций, приведенных в задачах на стр. 197, если необходимо учесть влияние дислокаций, а также сосредоточенных сил и моментов. Решение для общего случая нагружения эллиптического отверстия дается позже в §§ 67—72.

Кроме того, детально разработаны многие другие решения для эллиптических и других некруговых отверстий или включений при различных нагружениях.