§ 163. Общая двумерная задача для круговых областей

В §§ 160 и 162 мы использовали по-разному дифференциальные уравнения теплопроводности. Если мы хотим рассмотреть совершенно произвольное распределение температуры, скажем, некоторое заданное начальное распределение температуры во всем теле, то потребуются другие методы. Рассмотрим сейчас один из таких методов для случаев плоской деформации или плоского напряженного состояния в полярных координатах.

Используя термоупругий потенциал перемещений позволяющий определить перемещения (см. уравнение (м) § 162), можно записать уравнение (е)

для случая плоской деформации и уравнение (м) для плоского напряженного состояния в полярных координатах в виде

где для плоской деформации а для плоского напряженного состояния

Компоненты перемещения в полярных координатах имеют вид

Температура Т как функция от берется в виде ряда Фурье

Мы ограничимся здесь косинусоидальным рядом, так как с синусоидальным рядом можно поступить таким же образом. Соответственно примем

Тогда уравнение (а) требует, чтобы

Частное решение этого уравнения, получаемое методом вариации произвольных постоянных, имеет вид

где При из (д) непосредственно находим

Здесь а и — внутренний и внешний радиусы кольцевой области, немая переменная интегрирования. Функции, определяемые зависимостями вводятся в (е). Затем из формул (б) находятся перемещения, а по ним с помощью формул (48), (49) и (50) — компоненты деформации ее, Они в свою очередь приводят к напряжениям путем использования уравнений (б) и (в) из § 150 для плоского напряженного состояния и уравнений (б) из § 151 для плоской деформации. Зависимость между касательным напряжением и деформацией сдвига имеет просто вид

Такое напряженно-деформируемое состояние, полученное из потенциала перемещений в виде частного решения дифференциальных уравнений, само по себе не будет удовлетворять заданным граничным условиям на окружностях Для удовлетворения этих граничных условий потребуется приложить некоторые усилия на границе, которые можно, разумеется, определить из решения, описанного выше, отыскав при Однако задачу удовлетворения граничных условий, например условий на граничных окружностях, можно теперь решить также путем наложения изотермического решения Фурье (см. § 43).

Следует отметить, что определенное в соответствии с формулой (ж), ведет к решениям, уже описанным в §§ 150 и 151 для случая температуры, не зависящей от 0. В силу этого очевидно, что потенциал определяемый уравнением (е), ведет к некоторому обобщению этих решений на температуры, зависящие как от , так и от