Глава 6. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

§ 54. Функции комплексного переменного

При решении выше рассмотренных задач было удобно использовать декартовы и полярные координаты. Для задач с другими границами — в виде эллипсов, гипербол, неконцентрических окружностей и более сложных кривых — обычно предпочитают применять другие системы координат. При введении таких систем координат, а также при построении соответствующих функций напряжений удобно использовать комплексные переменные.

Рис. 113.

При помощи двух действительных чисел можно образовать комплексное число где через обозначен . Так как не принадлежит множеству действительных чисел, то следует определить для комплексных чисел понятия равенства, сложения, вычитания, умножения и деления. Так, по определению, если то Другие операции определяются так же, как и для действительных чисел. Например,

Переходя к полярным координатам, показанным на рис. 113, имеем

Так

и

получаем

Эта формула является определением символа где -действительное число. Из соотношения (а) следует

Алгебраические, тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические и другие функции от z образуются так же, как и от действительного переменного, если только принимается аналитическое, а не геометрическое определение. Таким образом, с помощью соответствующих степенных рядов можно определить функции Любую такую фуикцию можно разложить на действительную и мнимую части, т. е. представить в форме где действительная часть, а мнимая часть. Обе эти части являются обычными действительными функциями х и у и не содержат Например, если функция равна то получаем

При разделении действительных и мнимых частей удобнее всего там, где это возможно, использовать экспоненциальные функции. Например,

аналогично

Для каждой функции комплексного переменного можно получить, согласно определению, сопряженную функцию путем замены всюду на Произведение самой функции на сопряженную, очевидно, будет действительной функцией. В выражении (б) функция (сопряженная функции ) использовалась для получения действительного знаменателя. Следуя тому же общему правилу, можно произвести разложение функции

Производя перемножение в числителе и знаменателе, приходим к выражению

Производная функции по по определению, выражается формулой

где означает, разумеется, что Переменные можно всегда представлять в виде декартовых координат точки на плоскости. Тогда величины характеризуют смещение в некоторую соседнюю точку. На первый взгляд можно ожидать, что формула (г) будет различной для различных направлений смещения. Тем не менее предел в (г) определяется через в точности так же, как если бы это были действительные числа. При этом имеют место и соответствующие формулы, как, например.

независимо от выбора Следовательно, мы вправе сказать, что все эти функции могут образовываться из z формально тем же путем, что и производные действительной функции, которая зависит только от Эти производные являются одними и теми же для всех направлений приращения в точке Такие функции называются аналитическими.

Величину можно рассматривать как функцию от в том смысле, что при заданной заданы х и у, а следовательно, и Производная этой функции от есть предел при . Она зависит от направления смещения Если мы сместимся в направлении х, так что то предел будет равным 1. Если же мы сместимся по направлению у, так что то получим в пределе —1. Следовательно, функция не является аналитической функцией от Позже при построении функций напряжений будут использоваться как аналитические функции, так и функция Любую функцию, содержащую будем называть комплексной функцией.

Аналитическая функция обладает неопределенным интегралом, опре деляемым как функция, для которой функция является ее производной по z, и обозначаемым через Например если то

Постоянная интегрирования С является теперь комплексным числом содержащим две действительные произвольные постоянные.