§ 153. Общие уравнения

Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях (128) можно обобщить на случай температурных напряжений и деформаций. Соотношения между напряжениями и деформациями в трехмерном случае имеют вид

На уравнения (б) температура не влияет, поскольку свободное температурное расширение в изотропном материале не вызывает искажения углов.

Складывая уравнения (а) и используя обозначения, принятые в равенствах (7), находим

Используя эту зависимость и разрешая уравнения (а) относительно напряжений, получаем

Подставляя это выражение и выражения из формул (6) в уравнения равновесия (123) и считая, что объемные силы отсутствуют, получаем три уравнения равновесия, первое из которых имеет вид

При определении температурных напряжений эти уравнения заменяют уравнения (127). Граничные условия (124) после использования равенств (в) и (6) и в предположении отсутствия объемных сил принимают вид

Сравнивая уравнения (264) и (265) с уравнениями (127) и (130), видим, что члены

занимают место компонент объемных сил X, Y, Z, а члены

заменяют компоненты поверхностных усилий. Таким образом, перемещения вызываемые изменением температуры Т, совпадают с перемещениями, вызываемыми объемными силами

и нормальными усилиями

распределенными по поверхности тела.

Если найдено решение уравнения (264), удовлетворяющее граничным условиям (265) и дающее перемещения то соответствующие касательные напряжения можно определить по формулам (б), а нормальные напряжения — по формулам (в). Из последних формул видно, что компоненты нормального напряжения состоят из двух частей: 1) части, получаемой обычным путем с использованием компонент деформации, 2) гидростатического давления величиной

в каждой точке пропорционального изменению температуры в этой точке. Таким образом, полнее напряжение, вызываемое неравномерным нагревом, получается с помощью наложения гидростатического давления (е) на напряжения, вызываемые объемными силами (г) и поверхностными силами (д).

Метод устранения деформации. Тот же вывод можно получить и с помощью метода устранения деформации. Представим себе, что тело подвергается неравномерному нагреву и разделено на бесконечно малые элементы. Пусть свободным температурным деформациям этих элементов противодействует приложенное к каждому элементу равномерное давление величина которого определяется формулой (е). Тогда свободная температурная деформация будет полностью устранена. Все элементы окажутся пригнанными друг к другу и образуют непрерывное тело первоначальной формы и размеров. Распределение давления (е) можно реализовать с помощью приложения к названному телу, составленному из элементов, некоторых объемных сил и поверхностных давлений. Эти силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124). Подставляя в эти уравнения значения

находим, что для придания телу, составленному из элементов, его начальной формы, необходимо приложить объемные силы

а к поверхности следует приложить давление (е).

Предположим теперь, что элементы соединены друг с другом и устраним силы (и) и поверхностное давление (е). Тогда температурные напряжения, очевидно, можно получить с помощью наложения на давления (е) напряжений, которые вызываются в упругом теле объемными силами

и нормальным усилием на поверхности, равным

Таким образом, температурные напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия

граничным условиям

a также условиям совместности, рассмотренным в § 85. Им сопутствуют перемещения и деформации Напряжения связаны с этими деформациями законом Гука (см. (3) и (6)). Уравнения закона Гука вместе с уравнениями (266) и (267) определяют задачу об «обычном» (изотермическом) нагружении, в которой объемные и поверхностные силы определяются через температурное поле исходной термоупругой задачи. Решение этой обычной задачи, очевидно, дает истинные термоупругие перемещения.

Теперь должно быть ясно, что методы и теоремы, уже установленные для обычных задач, можно сразу же перенести на решения термоупругих задач. Например, теорема единственности (§ 96) обеспечивает нам, что в данном теле при данном поле температуры в условиях линейной теории малых деформаций возможно лишь одно решение для напряжений и деформаций. Явление выпучивания, разумеется, этим условиям не отвечает.

Для непосредственного решения задач термоупругости на основе существующих решений обычных задач особенно полезна теорема взаимности (§ 97). Объясним этот метод и приведем несколько частных примеров.