§ 32. Вращающиеся диски

Распределение напряжений в круглом вращающемся диске имеет большое практическое значение. Если толщина диска мала по сравнению с его радиусом, то изменением радиального и окружного напряжений по толщине диска можно пренебречь и задача легко решается. Если толщина диска постоянна, можно применить уравнение (37), в котором объемной силой будет являться сила инерции. Тогда

где р — масса единицы объема материала диска, а -угловая скорость вращения. В силу симметрии напряжение обращается в нуль, а напряжения не зависят от . Второе уравнение (37) удовлетворяется тождественно, а первое можно записать в форме

Согласно формулам (48) и (49) компоненты деформации в симметричном случае имеют вид

Выражая из двух первых соотношений между напряжениями и деформациями (51) компоненты напряжения, будем иметь

Далее, используя (в), находим

Подставляя эти выражения в (б), получим, что перемещение и должно удовлетворять уравнению

Общее решение этого уравнения имеет вид

где С и произвольные постоянные. Соответствующие компоненты напряжений находятся из (г) в виде

Постоянные интегрирования С и С, определяются из граничных условий.

Для случая сплошного диска, чтобы получить в центре, мы должны положить Постоянная С определяется из условия, на контуре диска. Если там не приложены силы, то получаем

откуда

Компоненты напряжений, согласно (ж), теперь определяются формулами

Эти напряжения принимают максимальное значение в центре диска, где

В случае диска с круглым отверстием радиуса а в центре постоянные интегрирования в уравнениях (ж) могут быть найдены из граничных условий на внутренней и внешней границах. Если на этих границах нет усилий, то граничные условия имеют вид

из этих условий следует, что

Подставляя эти значения в уравнения (ж), получаем

Максимальное радиальное напряжение возникает в точке где

Максимальное окружное напряжение действует на внутренней границе, где оно равно

Можно показать, что это напряжение больше чем

Когда радиус отверстия а стремится к нулю, максимальное окружное напряжение стремится к значению, вдвое большему того, которое действует в центре сплошного диска и определяется формулой (55). Таким образом, введение малого кругового отверстия в центре сплошного вращающегося диска удваивает максимальное напряжение. Другие примеры этого явления концентрации напряжений вокруг отверстий будут рассмотрены позже (см. стр. 105—112).

Предполагая, что напряжения по толщине диска не меняются, можно распространить развитый здесь метод анализа и на диски переменной толщины. Если -толщина диска, меняющаяся в зависимости от радиуса то уравнение равновесия для элемента, показанного на рис. 40, имеет вид

Используя равенство (г) для того, чтобы выразить компоненты напряжений через и, приводим уравнение (к) к виду

Если величина задана как функция от то представляет собой дифференциальное уравнение относительно переменной . Оно легко интегрируется для случая

где Н и — постоянные. Его общее решение в этом случае имеет вид

где

а — корни квадратного уравнения

Величины А и В являются произвольными постоянными.

Хорошее приближение к реальной форме вращающихся дисков можно получить, разделив диск на части и аппроксимируя форму каждой части кривой типа . В ряде работ был рассмотрен также случай конического диска. Часто вычисления производились с разбиением диска на части и заменой каждой части диском постоянной толщины