§ 169. Продольное соударение стержней

Если происходит продольное соударение двух одинаковых стержней из одного и того же материала, движущихся со скоростью (рис. 243, а), то в процессе удара плоскость контакта будет неподвижна, а вдоль обоих стержней со скоростью с начнут распространяться две одинаковые волны сжатия. Скорости частиц в волнах, наложенные на начальные скорости стержней, приведут зоны волн в состояние покоя, и в момент, когда эти волны достигнут свободных концов стержней оба стержня будут подвергнуты равномерному сжатию и находиться в состоянии покоя. Затем волны сжатия отразятся от свободных концов в виде волн растяжения, которые начнут распространяться в направлении поперечного сечения контакта В этих волнах скорости частиц, равные будут теперь направлены от сечения и когда волны достигнут плоскости контакта, стержни разделятся со скоростью, равной их начальной скорости Продолжительность соударения в этом случае будет, очевидно, равна а сжимающее напряжение, согласно формуле (279), станет равным

Рис. 243.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда стержни 1 и 2 (рис. 243, б) движутся со скоростями причем . В момент удара в обоих стержнях начнут распространяться две одинаковые волны сжатия. Соответствующие скорости частиц

относительно напряженных частей движущихся стержней будут равны и в каждом стержне направлены от поверхности контакта. Чтобы абсолютные скорости частиц обоих стержней на поверхности контакта были одинаковы, величина этих скоростей должна быть равна Через промежуток времени, равный волны сжатия достигнут свободных концов стержней. Оба стержня в этот момент будут находиться в состоянии однородного сжатия, абсолютные значения скоростей всех частиц стержней будут равны

Затем волны сжатия отразятся от свободных концов в виде волн растяжения и в момент когда эти волны достигнут поверхности контакта двух стержней, скорости стержней 1 и 2 станут равными

Рис. 244.

Таким образом, стержни в процессе удара обмениваются скоростями.

Если рассмотренные стержни имеют разные длины (рис. 244, а), условия соударения вначале будут такими же, как и в предыдущем случае. Однако после промежутка времени когда отраженная волна в более коротком стержне достигнет поверхности контакта она начнет распространяться вдоль более длинного стержня и возникнет состояние, изображенное на рис. 244, б. Волна растяжения от стержня уничтожит сжатие на поверхности контакта стержней, но контакт будет продолжаться, пока волна сжатия в более длинном стержне (заштрихованная на рисунке) не вернется после отражения к поверхности контакта в момент

В случае двух стержней одинаковой длины каждый из них после отскока будет иметь во всех точках одну и ту же скорость и будет двигаться как абсолютно твердое тело. Их полная энергия будет энергией поступательного движения. В случае стержней разной длины более длинный стержень после отскока будет содержать движущуюся в нем волну, и при определении полной энергии стержня следует учитывать и энергию этой волны.

Рассмотрим теперь более сложную задачу о стержне с заделанным концом, другой конец которого испытывает удар движущейся массой (рис. 245). Обозначим через М массу движущегося тела, отнесенную к единице площади поперечного сечения стержня, а через начальную скорость тела. Если считать тело абсолютно твердым, то скорость частиц на конце стержня в момент соударения будет равна а начальное напряжение сжатия, согласно формуле (279),

Рис. 245.

Вследствие сопротивления стержня скорость движущегося тела, а следовательно, и давление на стержень будут постепенно уменьшаться, и мы получаем распространяющуюся вдоль стержня волну сжатия с уменьшающимся сжимающим напряжением (рис. 245, б). Изменение сжимающего усилия во времени легко найти из уравнения движения тела. Обозначая через а переменное сжимающее напряжение на конце стержня и через у — переменную скорость тела, получаем

Подставляя вместо скорости ее выражение согласно формуле (279), находим

откуда

Это уравнение можно использовать, пока При волна сжатия с давлением на фронте возвратится к концу стержня, который находится в контакте с ударяющим телом. Скорость тела не может измениться скачком, поэтому эта волна отразится от места контакта как от заделанного конца.

Сжимающее напряжение на поверхности контакта увеличится скачком на величину как показано на рис. 245, в. Такое внезапное повышение давления будет происходить в процессе удара в конце каждого интервала времени и для каждого такого интервала мы должны получить различные выражения для а. Для первого интервала используем уравнение (в). Для второго интервала имеем условия, представленные на рис. сжимающее напряжение а будет вызвано двумя волнами, движущимися от ударяемого конца, и одной волной, движущейся к этому концу. Обозначим через полные сжимающие напряжения, возникающие на ударяемом конце от всех волн, движущихся от этого конца, после прошествия интервалов времени Волны, приходящие назад к ударяемому концу, — это волны, посланные в предыдущем интервале времени и отставшие на время Т за счет того, что они прошли вдоль стержня путь туда и обратно. Таким образом, сжатие, вызываемое этими волнами на ударяемом конце, получается путем подстановки вместо Т в выражение для сжатия от волн, посланных ударяемым концом в предыдущем интервале времени. Общее выражение для полного сжимающего напряжения в промежутке находится отсюда по формуле

Скорость частиц на ударяемом конце получается как разность между скоростью давления волн, уходящих от ударяемого конца, и давления волн, движущихся к ударяемому концу. Таким образом, согласно формуле (279), получаем

Зависимость между и можно теперь получить, используя уравнение движения (б) ударяющего тела. Обозначив через а отношение массы стержня к массе ударяющего тела, получаем

Используя эту зависимость вместе с соотношениями приводим уравнение (б) к виду

Умножая это уравнение на получаем ешчт

или

откуда

где С — постоянная интегрирования. Воспользуемся теперь этой зависимостью для вывода выражений последовательных значений . В течение первого интервала времени сжимающие напряжения даются формулой (в), и мы можем положить

Подставляя это значение вместо в формулу (ж), имеем

Постоянная интегрирования С находится из условия, что в момент сжимающие напряжения на ударяемом конце внезапно увеличиваются на величину (рис. 245, в). Отсюда, используя формулу (г), получаем

откуда

Подставляя это значение постоянной в формулу (к), имеем

Поступая далее таким же образом и подставляя в формулу вместо находим

Далее тем же путем получаем

и т.д. На рис. 246 графически представлены функции для и для четырех разных значений Если использовать эти кривые, то сжимающие напряжения на ударяемом конце легко найти по формуле (г).

Рис. 246.

Рис. 247.

На рис. 247 это напряжение представлено графически для . В конце интервалов оно меняется скачками. Максимальное значение этого напряжения зависит от отношения а. При напряжение имеет максимальное значение при . В случае максимальное напряжение возникает в момент Момент, когда а становится равным нулю, указывает на окончание удара. Можно убедиться, что

продолжительность удара увеличивается с уменьшением а. Расчеты Сен-Венана дают следующие значения для продолжительности удара.

Для малых значений а время контакта можно вычислить по элементарной формуле

которая получается, если пренебречь массой стержня и предположить, что продолжительность удара равна половине периода простого гармонического колебания тела, прикрепленного к концу стержня.

Рис. 248.

Функции определенные выше, можно использовать также для определения напряжений в любом другом поперечном сечении стержня. Полное напряжение всегда равно сумме двух значений (формула (г)); одно определяется результирующей волной, движущейся к заданному концу, а другое — результирующей волной противоположного направления. Когда часть волны, соответствующая максимальному значению (т. е. наивысшей точке для одной из кривых на рис. 246), приходит к заделанному концу стержня и отражается от него, то обе вышеупомянутые волны достигают максимального значения: полное сжимающее напряжение в этой точке в этот момент времени будет наибольшим, которое может быть достигнуто при ударе. Отсюда мы видим, что при ударе возникает максимальное напряжение на заделанном конце стержня и оно равно удвоенному максимальному значению Из. рис. 246 можно сделать вывод, что при максимальные сжимающие напряжения равны На рис. 248 приведены значения при различных величинах отношения Для сравнения ниже приведена также параболическая

кривая, полученная по формуле

которую можно легко получить элементарным способом, пренебрегая массой стержня и приравнивая энергию деформации стержня кинетической энергии ударяющего тела. Пунктирная кривая показывает эту параболическую кривую, определяемую формулой

Легко видеть, что при больших значениях эта формула всегда дает хорошее приближение.

Изложенная выше теория удара основана на допущении, что контакт происходит мгновенно по всей поверхности конца стержня.

Рис. 249.

Осциллограммы сигналов от датчиков информации, показывающие зависимость формы волны от скорости удара. Диаметр стержня 12 мм, датчики деформации расположены на расстоянии 75 см от места удара; скорости ударяющего тела: с) 15 см/сек, б) 10 см/сек, в) 7,5 см/сек.

Это условие трудно реализовать на практике. Чтобы обеспечить в точности плоские поверхности торцов стержней, точно вьтерить их движение и свести к минимуму влияние воздушной пленки, уловленной между ударяющимися концами стержней, необходимы тщательные меры предосторожности. Только тогда опытные данные о распространении волн можно согласовать с изложенной элементарной теорией. Рис. 249, взятый из статьи Беккера и Конвея, показывает осциллографические записи формы волн, которые передаются вдоль круглых стержней и отражаются от плоских концов, причем в случае рис. 249, в с пренебрежимым искажением. В более ранних экспериментальных работах

ударяющимся концам стержней придавали криволинейную сферическую форму и местные деформации в области контакта учитывались на основе теории Герца.