§ 3. Пример использования треугольных конечных элементов. Пластинка под действием сосредоточенных сил

Рассмотрим квадратную область под действием двух уравновешенных сосредоточенных сил в условиях плоской деформации (рис. 3). На том же рисунке изображена сетка конечных элементов со стороной квадрата 2а.

Рис.

Рис. 4.

Истинные напряжения и перемещения получаются из приведенных на рисунках по следующим формулам:

Пунктирная линия показывает перемещения по верхней и боковой граням призмы, полученные аналитическим методом.

Сплошная линия изображает те же величины, полученные по методу конечных элементов. Как видим, расхождения в перемещениях довольно значительны, особенно вблизи точек приложения сосредоточенных сил. Особенно велики расхождения для напряжений: в центре области метод конечные элементов дает , а аналитический метод . В других точках наблюдаются еще большие расхождения.

Поскольку выбранная сетка треугольных конечных элементов несимметрична относительно осей х и у, то и полученное решение не обладает симметрией.

Для выяснения, как влияет густота сетки конечных элементов на точность решения, та же задача решалась с вдвое более густой сеткой (169 узлов вместо 49). Результаты решения для представлены на рис. 4. Здесь сохранена лишь одна четверть области, так как расхождения, связанные с отсутствием симметрии, невелики.

Как видно из рисунка, значения получаются по обоим методам достаточно близкими. Заштрихованная часть квадрата показывает те области, в которых расхождение в напряжении превышает 10% от его первого значения; они составляют примерно 20% всей площади и относятся к окрестности точки приложения сосредоточенной силы, а также к зоне, где напряжения очень малы.

Для уточнения напряженного состояния вблизи точки приложения сосредоточенной силы можно воспользоваться методом выделения особенности, в котором напряженное состояние вблизи точки приложения выражается решением Фламана. После проведения такой операции максимальное расхождение между аналитическим методом и методом конечных элементов уже не превышало .