§ 95. Эффективная ширина широких полок балок
В качестве другого примера применения принципа минимальной энергии к двумерным задачам для прямоугольных областей рассмотрим балку с очень широкими полками (рис. 135). Такие балки очень часто встречаются в железобетонных конструкциях и в конструкциях корабельных корпусов. Элементарная теория изгиба предполагает, что напряжения изгиба пропорциональны расстоянию от нейтральной оси, т. е. что напряжения по ширине полки не меняются. Однако известно, что если при изгибе ширина полки очень велика, части полок, удаленные от стенки балки, не вносят полного вклада в момент сопротивления, и балка оказывается слабее, чем это следует из элементарной теории изгиба. Обычно при определении напряжений в таких балках действительную ширину полок заменяют некоторой приведенной шириной таким образом, чтобы элементарная теория изгиба, примененная к приведенному сечению, давала корректные значения максимальных напряжений изгиба. Эта приведенная ширина полок называется эффективной шириной. Дальнейшие рассуждения дают теоретическую основу для определения этой эффективной ширины.
Чтобы возможно более упростить задачу, допустим, что рассматривается бесконечная неразрезная балка на равноотстоящих опорах. Все пролеты балки одинаковым образом нагружены силами, симметричными относительно середин пролетов. Одна из опор, представленная на рис. 135, принимается за начало координат, а ось х считается совпадающей с осью балки.
Рис. 135.
В силу симметрии достаточно рассмотреть только один пролет и только одну полку, соответствующую, скажем, положительным значениям у. Ширина полки принимается бесконечно малой, а толщина 
— очень малой по сравнению с высотой балки. Вследствие этого изгибом полки как тонкой пластинки можно пренебречь и считать, что при изгибе балки усилия передаются на полку в ее срединной плоскости, так что распределение напряжений в полке является двумерным. Соответствующая функция напряжений 
удовлетворяющая дифференциальному уоавнению
может быть принята для рассматриваемого симметричного случая в виде ряда
в котором 
являются функциями только одной переменной у. Подставляя (б) в уравнение (а), находим для 
следующее выражение:
Чтобы удовлетворить условию обращения напряжений в нуль при бесконечных значениях у, примем 
Выражение для функции напряжений тогда примет вид
Коэффициенты 
теперь можно определить из условия, что действительное распределение напряжений доставляет суммарной энергии деформации в полке и в стенке минимум. Подставляя
в выражение для энергии деформации
и используя уравнение (г) для функции напряжений, получаем для энергии деформации полки выражение
Рассматривая отдельно энергию деформации стенки, обозначим через А ее поперечное сечение, через 
— момент инерции относительно горизонтальной оси, проходящей черёз центр тяжести С, и через e — расстояние от центра тяжести стенки до срединной плоскости стенки (рис. 135). Полный изгибающий момент, передаваемый любым сечением стенки вместе с полкой, может быть представлен для нашего симметричного случая рядом
В этом ряду 
— статически неопределимая величина, зависящая от величины изгибающего момента на опоре, а все прочие коэффициенты 
следует определить из условий нагружения. Обозначив через 
сжимающее усилие в полке (рис. 135, в), разобьем изгибающий момент М на две части: часть 
воспринимаемую стенкой, и часть 
возникающую от продольных усилий 
в стенке и полке. Из статических соображений замечаем, что нормальные напряжения по любому сечению всей балки дают момент М; отсюда
где — 
— часть изгибающего момента, воспринимаемая полкой. Энергия деформации стенки определяется зависимостью
Из первого уравнения (ж) находим
Из выражения (г) для функции напряжений можно видеть, что
Отсюда
Если же использовать обозначение
можно записать
Подставляя 
и учитывая, что 21 21
получаем
Прибавляя эту величину к энергии деформации полки 
и используя в выражении для последней обозначения
получаем следующее выражение для полной энергии деформации:
Величины 
должны определяться из условия минимума энергии деформации 
Можно видеть, что момент 
входит только в член 
и из требования минимума для 
следует, что 
Из условия
находим:
Подставляя эти значения в уравнение (л) вместе с равенством 
получаем следующее выражедие Для йгергии деформации:
Из условия, что величина 
должна доставлять минимум V, следует, что
откуда находим
Рассмотрим частный случай, когда эпюра изгибающего момента представляется простой косинусоидной, скажем 
. Тогда из выражения (н)
и, согласно формулам, (к), момент, связанный с усилием N в полке, равен
Распределение напряжений 
по ширине полки можно теперь определить по формуле (г), приняв все коэффициенты 
кроме 
равными нулю и полагая (в принятых выше обозначениях)
Это распределение напряжений 
показано на рис. 135, о. Напряжения 
убывают с увеличением расстояния от стенки.
Определим теперь такую ширину 
полки тавровой балки (рис. 135, а), чтобы равномерное распределение напряжения по поперечному сечению полки, показанному штриховкой, дало вычисленный выше момент М (формула 
. Это и будет эффективной шириной полки.
Обозначим, как и ранее, через 
части изгибающего момента, воспринимаемые стенкой и полкой, через 
— напряжение в центре тяжести стенки С и через 
— напряжение в срединной плоскости полкл; тогда до элементарной теории изгиба
а из уравнений статики
Выражения для двух частей изгибающего момента, согласно уравнениям 
и 
имеют вид
Отношение М к полному изгибающему моменту равно
Чтобы сделать это отношение равным отношению 
полученному из точного решения 
нам нужно принять
Отсюда получаем следующее выражение для эффективной ширины полки:
Принимая, например, 
находим
т. е. для принятой диаграммы изгибающего момента эффективная ширина полки составляет примерно 18% от пролета.
Для случая неразрезной балки с одинаковыми сосредоточенными силами, приложенными в центре пролетов, эпюра изгибающих моментов показана на рис. 136.
Рис. 136.
Рис. 137.
Представляя это распределение моментов с помощью ряда Фурье и используя развитый ранее общий метод находим, что эффективная ширина на опоре определяется формулой
т. е. она получается несколько меньшей, чем для случая эпюры моментов в виде косинусоиды.
Проблема, подобная рассмотренной в § 94, встречается при расчете подкрепленных тонкостенных конструкций. Рассмотрим коробчатую балку (рис. 137), образованную двумя швеллерами 
к которым с помощью заклепок и сварки по краям прикреплены два тонких листа 
и 
Если вся балка заделана левым концом и нагружена, как консоль, двумя силами Я, приложенными к швеллерам на другом конце, то, согласно элементарной теории изгиба, растягивающие напряжения изгиба в листе 
равномерно распределены по любому сечению, параллельному ВС. В действительности, однако, лист воспринимает растяжение от касательных напряжений по его краям, связанным со швеллерами, как показано на рис. 137, и распределение растягивающих напряжений по его ширине не будет постоянным; в соответствии с эпюрой напряжений на рис. 137, напряжения по краям будут выше, чем посередине. Такое отклонение от принятого в элементарной
теории распределения называется сдвиговой задержкой (shear lag), поскольку оно связано с деформациями сдвига в листах. Эта задача рассматривалась с помощью энергетического и других методов на основе некоторых упрощающих допущений 2).
ЗАДАЧИ
(см. скан)
