§ 150. Тонкий круглый диск: распределение температуры, симметричное относительно центра

Если температура Т не меняется по толщине диска, мы можем предположить, что напряжения и перемещения, вызванные нагревом, также не меняются по толщине. Напряжения удовлетворяют уравнению равновесия

Касательное напряжение равно нулю ввиду симметрии поля деформаций.

Обычные соотношения (51) между напряжением и деформацией при плоском напряженном состоянии требуют модификации, поскольку теперь деформация частично вызвана температурным расширением, а частично действием напряжения. Если через обозначить полную радиальную деформацию, а через — ее часть, вызванную действием напряжения, то получаем

и аналогично

Разрешая соотношения (б) и (в) относительно находим

С учетом этого уравнение (а) принимает вид

Если через и обозначить радиальное перемещение, то, согласно § 30, имеем

Подставляя эти выражения в уравнение (д), получаем уравнение

которое можно переписать также в виде

Интегрирование этого уравнения дает

где нижний предел а интегрирования может быть выбран произвольно. Для диска с отверстием а можно положить равным радиусу отверстия, а для сплошного диска — считать равным нулю.

Компоненты напряжений находятся теперь путем подстановки равенства (и) в соотношения (е) и последующей подстановки результатов в уравнения (г). Отсюда

Постоянные определяются из граничных условий.

Для сплошного диска полагаем а равным нулю и, учитывая, что

из соотношения (и) заключаем, что член с должен быть отброшен, чтобы перемещение и было равно нулю в центре. На краю должно выполняться условие откуда, в соответствии с выражением (к),

Окончательные выражения для напряжений принимают вид

В центре диска напряжения, определяемые по этим формулам, конечны, поскольку

где — температура в центре диска.