§ 100. Растяжение призматического стержня под действием собственного веса

Если - удельный вес стержня (рис. 143), то объемные силы будут равны

Дифференциальные уравнения равновесия (123) удовлетворяются, если положить

т. е. принять, что в каждом поперечном сечении мы имеем равномерное растяжение, вызываемое весом нижележащей части стержня. Легко видеть, что граничные условия на боковой поверхности, которая свободна от напряжений, удовлетворяются. Граничные условия дают нулевые напряжения для нижнего конца стержня, а для верхнего конца — равномерное распределенное растягивающее напряжение , где — длина стержня.

Рис. 143.

Условия совместности (126) также удовлетворяются решением таким образом, это корректное решение задачи для равномерного распределения усилий в верхнем сечении. Оно совпадает с решением, которое обычно дается в элементарных курсах сопротивления материалов.

Рассмотрим теперь перемещения (см. § 86). Из закона Гука используя уравнения (3) и (6), находим

Перемещения можно теперь найти путем интегрирования уравнений Уравнение (в) дает

где - функция от х и у, которая подлежит определению. Подставляя (е) во второе и третье уравнения (д), получаем

откуда

где суть функции только от х и у. Подставляя выражение (ж) в уравнения (г), получаем

Учитывая, что не зависят от уравнениям (и) можно удовлетворить только в том случае, если принять

Подставляя выражения (ж) для в первое из уравнений (д), находим

дхду Так как не зависят от то имеем

Из уравнений (к) и (л) можно теперь выписать общие выражения для функций Легко показать, что все эти уравнения удовлетворяются, если положить

где — произвольные постоянные. Теперь из уравнений (е) и (ж) следуют общие выражения для перемещений

Шесть произвольных постоянных можно определить из условий на опорном сечении. Опирание должно быть таким, чтобы воспрепятствовать любому движению стержня как абсолютно твердого тела. Чтобы воспрепятствовать поступательному движению стержня, закрепим центр тяжести верхнего конца А так, чтобы при выполнялось Чтобы исключить вращение стержня относительно осей, проходящих через точку А и параллельных осям х и у, закрепим элемент оси z в точке А. Тогда в этой точке Возможность вращения относительно оси z исключается в силу закрепления элементарной площадки, проходящей через точку А и параллельной плоскости Тогда в точке А. Используя уравнения (м), придаем шести условиям в точке А вид

Отсюда

и окончательные выражения для перемещений будут

Можно видеть, что точки на оси z имеют только вертикальные перемещения

Ввиду поперечного сужения другие точки стержня имеют не только вертикальные, но горизонтальные перемещения. Линии, параллельные до деформации оси z, после деформации становятся наклонными к этой оси; форма стержня после деформации показана на рис. 143 штриховыми линиями. Поперечные сечения стержня, перпендикулярные к оси z, после деформации искривляются, образуя параболическую поверхность. Точки поперечного сечения например, после деформации оказываются на поверхности

Эта поверхность перпендикулярна ко всем продольным волокнам стержня, которые после деформации приобретают наклон по отношению к оси z, так что деформация сдвига отсутствуют.