§ 79. Определение максимального касательного напряжения

Пусть через х, у, z обозначены главные оси, в силу чего — главные напряжения, а через обозначены направляющие косинусы некоторой заданной площадки. Тогда, согласно уравнениям (111), квадрат полного напряжения на этой площадке равен

Квадрат же нормальной компоненты напряжения на той же площадке, согласно уравнению (109), есть

Тогда квадрат касательного напряжения на той же площадке должен быть равен

Теперь исключим один из направляющих косинусов, скажем из этого уравнения, используя зависимость

а затем определим таким образом, чтобы сделать напряжение максимальным. После подстановки в выражение (б), вычисления производных от этого выражения по и приравнивания этих производных нулю, получаем следующие уравнения для определения направляющих косинусов площадок, для которых достигает минимума или максимума

Одно из решений этих уравнений можно получить, положив Можно получить также решения, отличные от нуля. Приняв, например, находим из второго уравнения (в), что а приняв находим из первого уравнения (в), что Решений уравнений (в), в которых и отличны от нуля, вообще говоря, не существует, так как в этом случае выражения в квадратных скобках не могут одновременно обращаться в нули.

Повторяя вышеприведенные рассуждения, но с исключением из уравнения (б) значения I, а затем приходим в конце

концов к таблице значений направляющих косинусов, доставляющих максимум или минимум (табл. 5).

ТАБЛИЦА 5. Направляющие косинусы для плоскостей (см. скан)

Первые три столбца дают направления координатных плоскостей, совпадающих, как и предполагалось вначале, с главными площадками. По этим плоскостям касательные напряжения равны нулю, т. е. выражение (б) минимально. Три других столбца дают плоскости, проходящие через каждую из координатных осей и делящие пополам угол между двумя другими главными осями. Подставляя направляющие косинусы этих трех плоскостей в выражение (б), получаем следующие значения касательных напряжений на этих главных площадках:

Из формул (115) следует, что максимальные касательные напряжения действуют по площадке, делящей пополам угол между максимальным и минимальным главными напряжениями, и что их величины равны половине разности между этими главными напряжениями.

Если оси , показанные на рис. 126, совпадают с направлениями главных напряжений и если т. е. нормаль к наклонной грани тетраэдра имеет направляющие косинусы то нормальное напряжение на этой грани, определяемое формулой (109), равно

Это напряжение называется средним напряжением. Касательное напряжение на этой же грани определяется, согласно формуле (б), в виде

Эту зависимость можно также переписать так:

или, используя формулу (г),

Это касательное напряжение называется октаэдрическим касательным напряжением, поскольку грань, на которой оно действует, является гранью правильного октаэдра, вершины которого располагаются на осях. Это напряжение часто используется в теории пластичности.