§ 149. Продольное изменение температуры в полосе

Предположим, что полоса, вырезанная из тонкой пластинки (рис. 225), подвергается неравномерному нагреву, так что температура Т является функцией только одной продольной координаты х, будучи постоянной в любом заданном поперечном сечении.

Рис. 225.

Если пластинка разрезана на полоски вида (рис. 225, а), то эти полоски расширятся по вертикали на разные величины. Ввиду взаимного сдерживания при этом возникнут напряжения,

так как полоски в действительности присоединены друг к другу, являясь частями пластинки.

Если рассмотреть полоски как не связанные друг с другом, то их вертикальное расширение будет устранено, если приложить сжимающие напряжения

по концам А и В каждой полоски. Полоски станут примыкать друг к другу, как и в ненагретой пластинке, если не считать поперечного расширения, которое предполагается свободным и приводит к горизонтальному переносному перемещению каждой полоски как абсолютно твердого тела. Чтобы найти температурные напряжения, мы должны наложить на состояние (а) напряжения, вызванные приложением равных и противоположных по знаку сил, т. е. растяжения интенсивностью вдоль края полоски

Если нагрев происходит в пределах длины полоски, малей по сравнению с ее шириной например полоски (рис. 225), то влияние такого растяжения усилием будет ощущаться только вблизи отрезков на верхнем крае и на нижнем крае. Каждое из таких нагружений можно рассматривать как задачу типа, описанного в § 37. На стр. 122 отмечалось, что нормальное напряжение, приложенное на прямолинейной границе, вызывает на ней такие же параллельные ей нормальные напряжения. Следовательно, растягивающие напряжения вызовут такие же растягивающие напряжения в направлении х. Оба нормальных напряжения затухают по мере движения в глубь пластинки по нормали к границе. Накладывая эти напряжения на сжимающие напряжения (а) в направлении оси у, получаем зависимости для вдоль линии в наиболее нагретой части пластинки; вид этих зависимостей показан на рис. 225, б. Вблизи краев наибольшим будет напряжение которое равно и является для положительного Т растягивающим. У середины наибольшим становится напряжение сжимающее напряжение величины при положительном Т. Максимальные напряжения имеют величину

Если температура Т является периодической функцией от х, то приложение на краю растягивающих усилий приводит к задаче типа, рассмотренного в § 24. Когда

из уравнений (м) § 24, полагая в соответствии

с равенством (е) находим

Вместе со сжимающим напряжением определяемым формулой (а), эти напряжения дают поле температурных напряжений в пластинке На рис. 226 показано распределение вдоль линий с максимальной температурой при различных длинах волн

Мы видим, что максимальное напряжение увеличивается с уменьшением длины волны и приближается к величине Имея решение для синусоидального распределения температуры, можно рассмотреть и другие случаи, в которых температура является некоторой периодической функцией от х.

Рис. 226.

Кроме того, отсюда можно заключить, что максимальное напряжение в пластинках конечной длины может лишь незначительно отличаться от значения полученного для бесконечной полосы.

В этом и в предыдущем параграфах в каждой задаче, исключая случай сферы (стр. 440), у нас имелись усилия, необходимые для того, чтобы устранить компоненту деформации, возникающую вследствие температурного расширения. Этот метод устранения деформации можно применять и более систематически, прикладывая усилия с целью устранения всех трех компонент деформации, вызываемых расширением. Общие уравнения для трехмерной задачи будут выводиться и обсуждаться с этой точки зрения в § 153.

Задачи о температурных напряжениях можно рассматривать и другим путем, независимым с самого начала от первого способа. Задача о наложении нагрузки или деформации может рассматриваться как частный случай более общей задачи,

допускающей одновременное исследование неоднородного распределения температуры и наложения нагрузки или деформации. В последующих трех параграфах мы рассмотрим простейшие задачи такого типа для диска, цилиндра и сферы.