§ 28. Полярно-симметричное распределение напряжений

Если функция напряжений зависит только от уравнение совместности (30) принимает вид

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, которое можно привести к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, если ввести новую переменную с помощью зависимости Таким путем легко получить общее решение уравнения (40). Это решение содержит четыре постоянных интегрирования, которые должны быть определены из граничных условий. С помощью подстановки можно проверить, что общее решение имеет вид

Из этого общего решения можно получить решения ряда задач

о полярно-симметричном распределении напряжений без учета объемных сил. Соответствующие компоненты напряжения, согласно уравнениям (38), имеют вид

Рис. 41.

Если в начале координат нет отверстия, постоянные А к В обращаются в нуль, поскольку в ином случае компоненты напряжения (42) при становятся неограниченно большими. Следовательно, для пластинки без отверстия в начале координат и при отсутствии объемных сил может существовать только одно полярно-симметричное распределение напряжений, при котором и пластинка находится в условиях однородного сжатия или растяжения во всех направлениях в своей плоскости.

Если в начале координат имеется отверстие, то из уравнений (42) можно вывести и другие решения, отличные от однородного растяжения или сжатия. Принимая, например, В равным нулю, можно привести уравнения (42) к виду

Это решение можно использовать для описания поля напряжений в полом цилиндре, подверженном действию равномерного давления на внутренней и внешней поверхностях (рис. 41). Обозначим через а и внутренний и внешний радиусы цилиндра, а через и -внутреннее и внешнее давления. Тогда граничные условия задачи примут вид

Подставляя (а) в первое из уравнений (43), получаем следующие уравнения для определения А и С:

откуда следует, что

Подставляя эти значения в уравнения (43), получаем следующие выражения для компонент напряжения:

Радиальное перемещение легко найти, так как в данном случае и для плоского напряженного состояния

Интересно отметить, что по всей толщине цилиндра сумма постоянна. Следовательно, напряжения вызывают однородное растяжение или сжатие в направлении оси цилиндра, и поперечные сечения, перпендикулярные оси цилиндра, будут оставаться плоскими. Таким образом, деформация, производимая напряжениями (44) в элементе цилиндра, вырезанном двумя смежными поперечными сечениями, не влияет на деформацию соседних элементов. Это оправдывает принятие для этого элемента условий плоского напряженного состояния, как и было сделано выше.

В частном случае, когда и цилиндр подвержен одному только внутреннему давлению, выражения (44) принимают вид

Эти выражения показывают, что в этом частном случае напряжение всегда является сжимающим, а напряжение — растягивающим. Последнее принимает наибольшее значение на внутренней поверхности цилиндра, где

Напряжение всегда численно превышает внутреннее давление и приближается к нему по величине с ростом Следовательно, его нельзя сделать ниже сколько бы материала не добавлялось ко внешней части цилиндра. Различные приложения уравнений (45) и (46) при проектировании машин излагаются обычно в элементарных курсах сопротивления материалов

Соответствующая задача для цилиндра с эксцентричным отверстием решена Джеффри. Если радиус отверстия равен а, радиус внешней поверхности цилиндра и расстояние между центрами соответствующих окружностей равно то максимальным напряжением при действии внутреннего давления будет окружное напряжение на внутренней поверхности в самом тонком месте. Величина этого напряжения определяется формулой

При это выражение совпадает с (46).