§ 119. Кручение круглых валов переменного диаметра

Рассмотрим вал в форме тела вращения, скручиваемый парами, приложенными по концам (рис. 178). Мы можем принять ось вала за ось и использовать полярные координаты и 0 для определения положения, элемента в плоскости поперечного сечения. Обозначения для компонент напряжения будут в этом случае иметь вид Компоненты перемещения в радиальном и окружном направлениях можно обозначить через и и а компоненту перемещения в направлении z - через Тогда, используя формулы, полученные ранее для двумерных задач (§ 30), находим следующие выражения для компонент

деформации:

Выписывая уравнения равновесия элемента (рис. 178), как мы это делали ранее для двумерного случая (§ 27), и предполагая, что объемные силы отсутствуют, приходим к следующим дифференциальным уравнениям равновесия 1):

Рис. 178.

Для применения этих уравнений к задачам кручения воспользуемся полуобратным методом (см. стр. 300) и допустим, что равны нулю, т. е. что в процессе кручения частицы перемещаются только в тангенциальном направлении. Это допущение отличается от допущения, принятого в теории кручения круглого вала постоянного диаметра, тем, что тангенциальные перемещения уже не будут пропорциональны их расстоянию от оси; таким образом, радиусы поперечного сечения в результате деформации искривляются. Далее будет показано, что решение, полученное на основе такого предположения, удовлетворяет всем уравнениям теории упругости и, следовательно, представляет истинное решение задачи.

Подставляя в и учитывая тот факт, что в силу симметрии перемещение не зависит от угла находим

Таким образом, из всех компонент напряжения отличны от нуля лишь Первые два из уравнений (180) удовлетворяются тождественно, а третье из них дает

Это уравнение можно записать в виде

Очевидно, это уравнение удовлетворяется, если использовать функцию напряжений зависящую от такую, что

Чтобы удовлетворить условиям совместности, нужно использовать тот факт, что являются функциями перемещения Из выражений (а) и (г) находим

из этих уравнений следует

или

Рассмотрим теперь граничные условия для функции Из условия, что боковая поверхность вала свободна от внешних сил, заключаем, что в любой точке границы осевого сечения А (рис. 178) полное касательное напряжение должно действовать в направлении касательной к границе, а его проекция на нормаль к границе должна равняться нулю. Отсюда

где - элемент границы. Подставляя из (г) значения напряжений, получаем

откуда можно сделать вывод, что функция постоянна вдоль границы осевого сечения вала.

Уравнение (ж) вместе с граничным условием (и) полностью определяет функцию напряжений по которой можно получить напряжения, удовлетворяющие уравнениям равновесия, условиям совместности и условиям на боковой поверхности вала.

Величину крутящего момента можно получить, если подсчитать момент, создаваемый касательными напряжениями Имеем:

где а — внешний радиус поперечного сечения. Таким образом, крутящий момент легко получить, если известна разность между значениями функции напряжений на внешней границе и в центре поперечного сечения.

Для исследования перемещений при кручении вала, воспользуемся обозначением для угла вращения элементарного кольца радиуса в поперечном сечении вала. Тогда будет углом закручивания трубки. Поскольку радиусы поперечного сечения становятся криволинейными, отсюда следует, что меняется с изменением и углы закручивания элементарных трубок для одного и того же поперечного сечения вала неодинаковы. Уравнения (д) можно теперь записать в форме

откуда

или

Решение этого уравнения дает нам угол закручивания как функцию от Если положить в этом решении

то получаем поверхность, все точки которой имеют одинаковый угол закручивания. На рис. 178 АА представляет пересечение такой поверхности с осевым сечением вала. Из симметрии следует, что поверхности, определяемые уравнением (м), являются поверхностями вращения, а будет меридианом такой поверхности, проходящим через точку А. В процессе кручения эти поверхности вращаются относительно оси z без искажения в точности так же, как и плоские сечения в случае круглого цилиндрического вала. Следовательно, полная деформация в любой точке меридиана есть деформация чистого сдвига в плоскости, перпендикулярной меридиану, а соответствующее касательное напряжение в осевом сечении вала направлено по нормали к меридиану. На границе это напряжение касательно к контуру поперечного сечения, а меридианы нормальны к нему. Если мы перейдем от поверхности к соседней поверхности, скорость изменения вдоль границы осевого сечения вала составит и так же, как и для цилиндрического вала кругового поперечного сечения (§ 101), имеем

где

— результирующее касательное напряжение на контуре.

Рис. 179.

Очевидно, значение этого касательного напряжения легко получить, если найдены экспериментально значения

Рассмотрим теперь частный случай конического сечения (рис. 179). В этом случае отношение

на контуре поперечного сечения постоянно и равно а. Любая функция этого отношения будет удовлетворять граничному условию (и). Чтобы удовлетворить также уравнению (ж), примем

где с — постоянная. Затем с помощью дифференцирования находим

Постоянная с находится из уравнения Подставляя в это уравнение выражение находим

Чтобы определить угол закручивания, воспользуемся уравнением (д), из которого находим выражение для удовлетворяющее равенству и граничному условию

Как мы видим, это уравнение определяет поверхность равного угла закручивания и является сферической поверхностью с центром в точке О.

Рис. 180.

Для вала в форме эллипсоида, гиперболоида или параболоида вращения решение можно получить тем же путем.

На практике встречаются задачи гораздо более сложной природы. Диаметр вала обычно меняется скачком, как показано на рис. 180, а. Первое исследование такой задачи дал А. Фёппль. Рунге предложил численный метод для приближенного решения этих задач, и было показано, что в точках тип имеет место значительная концентрация напряжений. Величина максимального напряжения для вала с двумя различными диаметрами d и D (рис. 180, а) зависит от отношения радиуса закругления а к диаметру вала а также от отношения

В случае полукруглого выреза очень малого радиуса максимальное напряжение на дне выреза (рис. 180, б) вдвое больше чем на поверхности цилиндрического вала без выреза.

При исследовании концентрации напряжений у закруглений и вырезов скручиваемых круглых валов оказалась очень полезной электроаналогия (рис. 181). Общее уравнение для электрического тока в тонкой однородной пластинке переменной толщины имеет вид

где — переменная толщина пластинки, — потенциальная функция.

Рис. 181.

Рис. 182.

Допустим теперь, что пластинка имеет тот же контур, что и осевое сечение вала (рис. 182), что оси х и у совпадают с осями z и и что толщина пластинки пропорциональна кубу радиуса

так что Тогда уравнение (с) принимает вид

Это уравнение совпадает по виду с уравнением и мы можем сделать вывод, что эквипотенциальные линии для пластинки описываются тем же уравнением, что линии равных углов закручивания в случае вала переменного диаметра.

Предполагая, что концы пластинки, отвечающие концам вала, обладают некоторой разностью потенциалов, так что ток течет вдоль оси z, получаем, что эквипотенциальные линии нормальны к боковой поверхности пластинки, т. е. мы имеем те же граничные условия, что и для линий постоянного угла закручивания. Если дифференциальные уравнения и граничные условия для обоих типов линий одинаковы, то линии совпадают. Следовательно, исследовав распределение потенциала в пластинке, можно получить ценную информацию относительно распределения напряжений в скручиваемом валу.

Максимальное напряжение действует на поверхности вала, и мы получаем это напряжение, используя уравнение (н). Из этого уравнения с применением электроаналогии следует, что напряжение пропорционально скорости падения потенциала вдоль края пластинки.

Практически измерения производились на стальной модели длиной 24 дюйма (61 см), шириной 6 дюймов (15,2 см) в самом широком месте и максимальной толщиной 1 дюйм (2,5 см) (рис. 182). Падение потенциала вдоль края образца исследовалось с использованием чувствительного гальванометра, концы которого были подсоединены к двум острым иглам, закрепленным на постоянном расстоянии друг от друга в 2 мм. Когда иглы касались пластинки, гальванометр показывал падение потенциала на расстоянии между иглами. Передвигая иглы вдоль закругления, можно было найти место максимального градиента электрического напряжения и замерить его. Отношение этого максимума к градиенту напряжения в отдаленной точке (рис. 182, а) дает величину коэффициента концентрации в формуле

Результаты таких опытов для одного частного случая представлены на рис. 182, в, где падение потенциала, замеренное в каждой точке, выражается длиной нормали к краю пластинки в этой точке. При этом коэффициент концентрации получается равным 1,54. Величина этого коэффициента, полученная при

различных соотношениях размеров вала, приведена на рис. 181, где абсциссы представляют отношения радиуса закругления к меньшему радиусу вала, а ординаты — коэффициент концентрации напряжений для различных значений отношения рис. 180).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)