§ 34. Краевые дислокации

В § 33 компоненты перемещений были получены, исходя из компонент напряжения (59). Постоянные для задачи, представленной на рис. 46, определялись формулами (ж).

Приложение этого решения к задаче о четверти кольца не связано с существом дела. С равным успехом то же решение можно применить и к почти полному кольцу (рис. 48, а, б). Его можно также интерпретировать для случая, когда заданы не силы, а перемещения.

Рис. 48.

Рассмотрим перемещения из § 33. Обратим внимание на то, что первый член в выражении для и может привести к разрыву перемещений. Рассмотрим рис. 48, б. На этом рисунке изображено первоначально полное кольцо с радиальным разрезом при . На нижней поверхности разреза , а на верхней где — бесконечно малая величина. Если вычислить и по формуле для двух этих значений , то результаты будут различаться на величину Таким образом,

Из формулы тогда получаем

Это относительное смещение двух поверхностей разреза показано на рис. 48, б символом 6. Усилие Р, необходимое для того, чтобы произвести это смещение, находится из последнего уравнения (ж) § 33, куда нужно подставить определяемое по формуле (б). Если две поверхности приварены друг к другу после того, как наложено перемещение каждая из них в виде действия и противодействия передает на другую указанное усилие Р. Кольцо при этом находится в состоянии самонапряжения, называемом «краевой дислокацией». Соответствующее плоское деформированное состояние является основой для объяснения пластической деформации в кристаллах металлов.

Рис. 48, а показывает кольцо с зазором шириной с параллельными берегами. Если сначала сделать тонкий разрез, а затем

наложить относительные перемещения, для того чтобы раскрыть разрез, то разрыв перемещений возникнет уже не для и, а для Его можно получить из решения § 33, если принять, что правая поверхность разреза занимает положение а левая Тогда, поскольку положительное направление совпадает с направлением возрастания 0, получаем

Используя вторую из формул § 33, находим

Тот факт, что значения различаются только знаком, означает, что и напряжения в этих двух случаях должны различаться только по знаку. Величина Р находится из третьего соотношения (ж) в § 33, после чего из двух первых находятся А и В. Это соответствие можно было предвидеть на основании того факта, что если сделать оба разреза, показанные на рис. 48, а и б, то четверть кольца будет вырезана полностью. Относительное перемещение на рис. 48, а и относительное перемещение на рис. 48, б можно вызвать одновременно, если сдвинуть четверть кольца вправо на величину Это не вызовет никаких напряжений, и следовательно, оба вида дислокации должны иметь равные и противоположные по знаку напряжения, если каждая из них существует отдельно. Это обстоятельство служит примером общей «теоремы об эквивалентных разрезах».