§ 73. Эллиптическое отверстие. Частные задачи

На рис. 124 показано эллиптическое отверстие, свободное от нагрузки, причем напряжения вызываются приложением равномерного растягивающего усилия на бесконечности под углом к оси х. Эта задача была решена в § 63 с помощью прямого выбора комплексных потенциалов, обладающих соответствующими свойствами. Сейчас мы выведем эти потенциалы, пользуясь методом Н. И. Мусхелишвили.

Рис. 124.

В соответствии с § 69 мы будем искать аналитические потенциалы, которые следует наложить на поле простого растяжения, действующего Есюду в области при отсутствии отверстия. Сила, передаваемая через дугу АВ (рис. 124), в соответствии с § 59 составляет

При в общем случае получаем

и для эллипса

Отождествляя , можно переписать соотношение (а) в виде

Аналитические потенциалы дают возможность снять с контура эллипса эти усилия. Иначе говоря, они должны отвечать функции

определяемой формулой

Подстановка ее в уравнение (д) § 72 для определения водит к трем легко вычисляемым интегралам. Получаем

Первые два результата следуют сразу же из интегральной теоремы Коши для единичного круга, когда обозначает точку вне его. Выражение для третьего интеграла следует из теоремы Коши для внешней области или из теоремы о вычетах для внутренней области. Отсюда

Рис. 125.

Чтобы определить используем формулу (г), § 72. Согласно формуле (д) имеем

Чтобы вычислить интеграл, снова воспользуемся формулами (107). Отсюда

Компоненты напряжения в системе координат теперь можно найти из производных от по Криволинейные компоненты, отвечающие эллипсам на плоскости на которые отображаются окружности а также ортогональные им гиперболы, на которые отображаются лучи можно получить по формулам типа (92) и (93) или (96) и (97). Перемещения определяются из уравнений (86) или (98).

В качестве второй иллюстративной задачи рассмотрим эллиптическое отверстие (рис. 125) с равномерно распределенным нормальным давлением на участках границы и участки и остаются ненагруженными. Точки имеют координаты а соответствующие им точки на у в плоскости — это

Обозначая через координату точки В на эллипсе внутри участка имеем

От точки С до D это усилие остается постоянным. Отсюда

Таким образом, получаем

и

Соответственно функция определяется формулами

Членом —а в каждой скобке можно пренебречь. Нагрузка определяется изменением функции Из формулы (д) § 72 получаем

Интегралы можно вычислить, беря неопределенные интегралы и подставляя пределы. Отсюда

Эту формулу можно упростить, приведя ее к виду

Функцию можно теперь найти из выражения (д) § 72, построив согласно формуле Интегрирование производится так же, как и в что в результате дает

Затем, после некоторых упрощений, получаем

Имея окончательные формулы для двух комплексных потенциалов, определяемых уравнениями выражения для перемещения и напряжения можно получить из общих формул (96)-(98).

ЗАДАЧИ

(см. скан)