§ 108. Кручение стержня узкого прямоугольного поперечного сечения

В случае узкого прямоугольного поперечного сечения простое решение задач о «оручеаии можно полупить с помощью мембранной аналоги. Пренебрегая влиянием коротких сторон прямоугольника и предполагая, что поверхность слегка прогнувшейся мембраны является цилиндрической (рис. 160, б), можно определить прогибы мембраны из элементарной формулы для параболической кривой прогибов гибкой нити при равномерной лоперечной нагрузке

Согласно известным свойствам параболических кривых максимальный наклон, который возникает в средней части длинной стороны прямоугольника равен

Объем в виде параболического цилиндра, ограниченный прогнутой мембраной и плоскостью равен

Теперь, используя мембранную аналогию и подставляя в выражения (б) и (в) вместо , находим

откуда

Для параболической кривой прогибов (рис. 160, б)

и наклон мембраны в любой точке равен

Соответствующее напряжение в скручиваемом стержне определяется по формуле

Распределение напряжений следует линейному закону, как показано на рис. 160, а.

Рис. 160.

Вычисляя величину крутящего момента, соответствующего этому распределению напряжений, получаем

Это только половина полного момента, определяемого уравнением (164). Другая половина дается компонентами напряжения которыми мы полностью пренебрегли, когда предположили, что поверхность прогнутой мембраны является

цилиндрической. Хотя эти напряжения имеют значительную величину лишь вблизи коротких сторон прямоугольника и их максимальное значение меньше, чем вычисленное ранее, но они действуют на большом расстоянии от оси стержня и создаваемый ими момент составляет вторую половину крутящего момента.

Интересно отметить, что значение тшах, определяемое первым из уравнений (г), вдвое больше, чем в случае круглого вала с диаметром, равным с, подвергнутого закручиванию на тот же угол . Это можно объяснить, рассмотрев депланацию поперечных сечений.

Рис. 161.

Рис. 162.

Стороны поперечного сечения, такие, как (рис. 161, б), остаются нормальными к продольным волокнам стержня у углов, как показано в точках Общий сдвиг элемента складывается из двух частей: части вызванной вращением поперечного сечения относительно оси стержня и равной сдвигу в круглом стержне диаметром с, и части вызванной депланацией поперечных сечений. В случае узкого прямоугольного поперечного сечения и результирующий сдвиг вдвое больше, чем в случае круглого стержня с диаметром с.

Выражения (163) и (164), полученные выше для случая узкого прямоугольника, можно также использовать для тонкостенных стержней таких поперечных сечений, как показано на рис. 162, если положить равным развернутой длине сечения. Это следует из того факта, что если толщина с трубы с трещиной (рис. 162) мала по сравнению с диаметром, то максимальный наклон мембраны и объем, ограниченный мембраной, будут примерно такими же, как и для узкого прямоугольного поперечного сечения шириной с, и той же длины, что и длина окружности срединной поверхности трубы. Аналогичный вывод

можно сделать и для швеллера (рис. 162, б). Следует заметить, что в последнем случае имеет место значительная концентрация напряжений вблизи входящих углов, зависящая от величины радиуса закругления этих точках формулу (164) применять нельзя. Более подробное обсуждение этого вопроса будет дано в § 112.