§ 26. Влияние концов. Собственные функции
Функция напряжений в виде ряда Фурье, рассмотренная в §§ 24 и 25, пригодна для задач с заданными нагрузками или перемещениями на двух противоположных гранях. Если же условия заданы на всех четырех гранях прямоугольной области, то такая функция не является достаточно общей, и к ней следует добавить функцию напряжений в виде ряда Фурье по у. Это приводит к методу перекрестной суперпозиции одинарных рядов, развитому Матье (см. примечание на стр. 70).
При исследовании задач с нагружением на концах, когда верхняя и нижняя грани свободны от нагрузок или имеют нулевые перемещения или другие однородные граничные условия, может использоваться функция напряжений иного вида. Чтобы познакомиться с ней, рассмотрим, например, для задачи со свободными гранями 
функцию напряжений
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (30) при любых значениях постоянных 
Условия 
на гранях 
удовлетворяются, если положить
поскольку отсюда следует
Однако условия (б) требуют также нулевой результирующей силы и нулевого момента в любом сечении 
Условие симметрии относительно оси х означает, что достаточно исследовать усилия в направлении х. Для них получаем
Таким образом, нагрузка на каждом конце полосы является самоуравновешенной.
Поскольку функция (а) является четной по у, достаточно применить условие (б) только при 
. В результате имеем
Далее, после исключения х, получаем
если 
. Корни уравнения (г), отличные от очевидного корня 
который не представляет интереса, являются комплексными. Они образуют сопряженные комплексные пары; кроме того, если y — корень, то и — y является корнем. Корни, обладающие положительной действительной частью, дают функции напряжений вида (а), которые стремятся к нулю с ростом 
, следовательно, применимы к задачам о действии самоуравновешенной нагрузки на конце 
полосы 
. В порядке возрастания действительной части два первых корня равны
Четные индексы использованы ввиду того, что мы рассматривали в уравнении (а) лишь четную функцию от у. Если вместо этого рассмотреть нечетную функцию
то уравнение (г) заменяется следующим:
Его первые два ненулевых корня равны
Для отыскания соответствующих значений х вместо первого из уравнений (в) используем соотношение
Обращаясь к симметричному случаю, представленному формулой (а), после подстановки выбранного значения корня у, например 
из (д) и соответствующего ему значения х из первого или второго уравнения (в), получаем комплексную форму функции напряжений, в которой коэффициент С будем считать здесь равным единице. Поскольку эта функция напряжений удовлетворяет дифференциальному уравнению (30), ее действительная и мнимая части, каждая в отдельности, также удовлетворяют этому уравнению и могут использоваться как действительные функции напряжений. Каждой из них можно придать ее собственный действительный коэффициент. Действительная часть у дает экспоненциальный множитель, описывающий скорость убывания с ростом х. Наименьшая из таких скоростей встречается в функциях, соответствующих 
согласно (д) экспоненциальный множитель равен
Он является мерой затухания напряжений, которое качественно описывается принципом Сен-Венана, если только рассмотренная здесь система «собственных функций» способна представить любую самоуравновешенную нагрузку на концах, какая может быть приложена. Хотя это и так, на практике определение коэффициентов ведет к весьма трудоемким вычислениям. Чтобы избежать их, были протабулированы приближенные функции более простого вида, которые использовались в ряде работ.
Вместо задания нагрузок условия на концах могут основываться на заданных перемещениях. В некоторых случаях напряжения имеют особенности в углах 
. В этих случаях важно исследовать характер сингулярных членов и, если возможно, представить их в замкнутой форме так, чтобы часть решения в виде ряда представляла только несингулярную часть. Пример такого рода встречается в задаче о полосе, которая закреплена на одном конце и имеет нулевые перемещения. Задача решалась указанным путем при действии растягивающей нагрузки. Исследована также задача о полосе, растягиваемой в двух направлениях, у которой упругие константы в области 
отличаются от констант в области 
ЗАДАЧИ
(см. скан)
