§ 35. Влияние круглого отверстия на распределение напряжений в пластинке

Рис. 49 изображает пластинку, подверженную однородному растяжению величиной S в направлении оси х. Если в пластинке проделано малое круглое отверстие, то распределение напряжений вблизи этого отверстия изменится; однако в соответствии с принципом Сен-Венана можно сделать вывод, что этим изменением можно пренебречь на расстояниях, достаточно больших по сравнению с радиусом отверстия а.

Рассмотрим часть пластинки внутри концентрической окружности радиуса большого по сравнению с а. Напряжения на окружности радиуса будут по существу теми же, что и в

пластинке без отверстия; следовательно, они определятся формулами

Эти усилия, действующие на внешнюю часть кольца, имеющего внутренний радиус и внешний радиус определяют распределениенапряжений внутри кольца, которое можно рассматривать как состоящее из двух частей. Первая часть вызвана постоянной компонентой 1/25 нормальных усилий. Напряжения, которые она вызывает, можно определить с помощью выражений (44). Другая часть, вызванная нормальными силами вместе с касательными усилиями создает напряжения, которые можно получить из функции напряжений вида

Рис. 49.

Подставляя это выражение в уравнение совместности

приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению для определения

Его общее решение имеет вид

Отсюда получаем функцию напряжений

а соответствующие компоненты напряжений, согласно уравнениям (38), определяются формулами

Постоянные интегрирования нужно теперь определить из условий (а) для внешней границы и из условия, что край отверстия свободен от внешних усилий. Эти условия дают

Решая эту систему уравнений и полагая , т. е. считая пластинку неограниченно большой, получаем

Подставляя эти значения постоянных в уравнения (г) и добавляя напряжения, вызываемые равномерным растяжением интенсивности действующим на внешней границе, и определяемые из уравнений (44), находим

Перемещения могут быть отсюда получены с использованием уравнений (48)-(51) с точностью до смещений абсолютно твердого тела. Это предоставляется сделать читателю в качестве упражнения (задача 6, стр. 157). При этом перемещения не содержат разрывов.

Если радиус очень велик, напряжения приближаются к значениям, даваемым уравнениями (а). На краю отверстия получаем

Можно видеть, что напряжение достигает максимального значения, когда или , т. е. на концах диаметра, перпендикулярного к направлению растяжения (рис. 49). В этих точках Это максимальное растягивающее напряжение втрое больше постоянного напряжения приложенного на концах пластинки.

В точках и где равно , получаем

таким образом, в окружном направлении в этих точках действует сжимающее напряжение.

Для поперечного сечения пластинки, проходящего через центр отверстия и перпендикулярного оси х, угол равен поэтому из уравнения (61) находим

Ясно, что влияние отверстия носит локальный характер. С увеличением напряжение приближается к значению 5. Распределение этих напряжений показано на рис. 49 заштрихованной площадью. Локальный характер напряжений вокруг отверстия оправдывает применимость решения (61), выведенного для бесконечно большой пластинки, к пластинке конечной ширины. Если ширина пластинки не меньше четырех диаметров отверстия, ошибка решения (61) при вычислении не превышает

Рис. 50.

Имея решение (г) для растяжения или сжатия в одном направлении, с помощью наложения можно легко получить решение для растяжения или сжатия в двух перпендикулярных направлениях. Принимая, например, растягивающие напряжения в двух перпендикулярных направлениях равными 5, находим, что на границе отверстия действуют растягивающие напряжения (см. стр. 98). Считая, что в направлении х действует растягивающее напряжение 5 (рис. 50), а в направлении у—сжимающее напряжение —5, получаем случай чистого сдвига. Согласно (61) кольцевое напряжение на границе отверстия при этом равно

При или т. е. в точках пит, находим, что При или т. е. в точках имеем Следовательно, при чистом сдвиге для достаточно большой пластинки максимальное кольцевое напряжение на границе отверстия в четыре раза превышает приложенное напряжение чистого сдвига.

Высокая концентрация напряжений на краю отверстия представляет большой практический интерес. В качестве примера можно упомянуть отверстия в палубах судов. При изгибе корпуса судна в палубах вызывается растяжение или сжатие, а им сопутствует высокая концентрация напряжений вокруг отверстий. Многократные циклы нагружения, производимые волнами,

приводят к усталости материала в перенапряженных частях палуб, которая может в конечном счете вызывать усталостные трещины.

Часто оказывается необходимым уменьшить концентрацию напряжений вокруг отверстий, например вокруг отверстий для осмотра крыльев и фюзеляжа самолета. Это можно сделать путем добавления буртика или подкрепляющего кольца. Соответствующее аналитическое решение задачи было проведено путем обобщения метода, использованного выше, а результаты сравнивались с экспериментальными измерениями, полученными с помощью тензодатчиков.

Случай круглого отверстия вблизи прямолинейной границы полубесконечной пластинки при действии растягивающих напряжений, параллельных границе (рис. 51), исследовал Джеффри.

Рис. 51.

Уточнение результата и сравнение с фотоупругими испытаниями (см. гл. 5) было проведено позднее Миндлиным. Напряжения на контуре отверстия в точке ближайшей к краю, когда отрезок мал по сравнению с пр, становятся очень большими в сравнении с невозмущенным растягивающим напряжением.

Джеффри исследовал также случай постоянного нормального давления действующего на границе отверстия. Это частный случай задачи об эксцентричном отверстии, описанной на стр. 95. Если отверстие удалено от прямолинейного края, напряжения на границе отверстия, согласно выражениям (45), равны

Если же отверстие находится вблизи края, кольцевые напряжения вдоль границы отверстия уже не будут постоянными. Максимальное кольцевое напряжение возникает в точках и и определяется формулой

Это напряжение можно сравнить с растягивающим напряжением в точке на прямолинейной границе пластинки, определяемым формулой

При оба выражения совпадают. Если то максимальное напряжение действует на границе отверстия, а при максимальное напряжение действует в точке т.

Случай пластинки конечной ширины с круглым отверстием на оси симметрии (рис. 52) рассматривал Р. Хаулэнд. Он обнаружил, например, что когда напряжение в точке и

в точке .

Рис. 52.

Метод, использованный в этом параграфе для исследования напряжений вокруг малых круглых отверстий, можно применить и в случае, когда пластинка подвергается чистому изгибу. Как для действия растяжения, так и для действия изгиба рассмотрено уже много частных случаев Они включают задачи об одном отверстии или ряде отверстий в полосе и в полубесконечной пластинке, о наборе отверстий, расположенных по окружности, и о полукруглых вырезах в полосе.

Метод, развитый Хенгстом, применялся к случаю отверстия в квадратной пластинке под действием равных растяжений в двух направлениях, а также под действием сдвига. Рассматривались случаи как неподкрепленного, так и подкрепленного отверстий.

Были получены, кроме того, решения для бесконечной пластинки с круглым отверстием, когда усилия были приложены к границе отверстия), для соответствующей задачи о полосе и задачи о ряде отверстий, расположенных вблизи (и параллельно) прямолинейной границы) полубесконечной пластинки (ряд отверстий для заклепок).

Если в бесконечной пластинке, находящейся под действием растягивающего напряжения имеется эллиптическое отверстие, причем одна из главных осей эллипса параллельна направлению растяжения, то напряжения в точках на поверхности отверстия, расположенных на другой главной оси, равны

где - ось эллипса, перпендикулярная направлению растяжения, а — другая ось. Эта и другие задачи, касающиеся эллипсов, гипербол и двух кругов, рассматриваются в главе 6, где можно найти соответствующие ссылки.

Очень узкое отверстие с большим отношением перпендикулярное направлению растяжения, вызывает очень высокую концентрацию напряжений Это объясняет причину распространения трещин, - расположенных поперек направления приложенных сил. Распространение таких трещин можно остановить, если у концов трещины просверлить отверстия, чтобы ликвидировать там острые концы, вызывающие высокую концентрацию напряжений.

Если отверстие заполнено материалом, жестким или имеющим другие упругие константы по сравнению с материалом пластинки (плоское напряженное состояние) или тела (плоская деформация), то имеем задачу о жестком или упругом включениях. Она решалась для круглого и эллиптического включений. Результаты

для жесткого цилиндрического включения были подтверждены фотоупругим методом (см. гл. 5).

Напряжения, определяемые уравнениями (61) задачи, показанной на рис. 49, совпадают для случая плоского напряженного состояния и плоской деформации. Однако в случае плоской деформации на плоских торцах тела должны действовать осевые напряжения

перпендикулярные плоскости чтобы сделать деформации равными нулю. Снятие этих напряжений с торцов и переход к свободным от напряжений торцам вызовет новые напряжения, которые уже не будут носить двумерный (плоское напряженное состояние или плоская деформация) характер. Если диаметр отверстия мал по сравнению с расстоянием между торцами, то эти возмущения будут ограничиваться окрестностью торцов. Однако если диаметр и расстояние между торцами имеют величину одного порядка, задачу всюду в области нужно рассматривать как существенно трехмерную. Исследования такого рода показали, что остается наибольшей компонентой напряжений и ее значение весьма близко к тому, которое дает двумерная теория.