§ 40. Действие на балку сосредоточенной силы

Задача о распределении напряжений в балке при действии сосредоточенной силы представляет большой практический интерес. Ранее было показано (§ 23), что в балке узкого прямоугольного поперечного сечения с непрерывной нагрузкой применение элементарной теории изгиба дает возможность получить

распределение напряжений с удовлетворительной точностью. Однако вблизи точки приложения сосредоточенной силы следует ожидать серьезного местного возмущения в характере распределения напряжений, в связи с чем возникает необходимость дальнейшего исследования этой задачи. Впервые изучение местных напряжений провел экспериментально Карус Вильсон. Проводя опыты с прямоугольной балкой из стекла на двух опорах (рис. 57), нагруженной в центре, и используя поляризованный свет (см. стр. 163), он показал, что в точке А, где приложена нагрузка, распределение напряжений близко к тому, которое наблюдается в полубесконечной пластинке под действием нормальной сосредоточенной силы. Вдоль поперечного сечения нормальное напряжение не следует линейному закону, а в точке расположенной напротив точки А, растягивающее напряжение меньше, чем следовало бы ожидать, исходя из элементарной теории балки. Эти результаты на основании некоторых эмпирических предпосылок объяснил Стокс. Система, представленная на рис. 67, может быть получена путем наложения двух систем, показанных на рис. 68. Радиальные сжимающие напряжения, действующие в сечениях и полубесконечной пластинки (рис. 68, а), снимаются равными им радиальными растягивающими напряжениями, действующими на гранях прямоугольной балки, опертой в точках пир (рис. 68, б). Чтобы получить случай, рассмотренный Стоксом, нужно наложить напряжения в такой балке на напряжения в полубесконечной пластинке.

Рис. 67.

При определении напряжений в балке можно использовать элементарную балочную теорию. Изгибающий момент в среднем сечении балки получается, если от момента силы реакции отнять момент всех радиально направленных растягивающих усилий, приложенных к половине балки. Этот момент легко вычислить, если учесть, что радиально распределенные растягивающие усилия статически эквивалентны давлению, распределенному по квадранту цилиндрической поверхности расположенной у точки А (рис. 68, в). Или же, согласно уравнению (65), эти усилия эквивалентны горизонтальной силе и вертикальной силе Р, приложенным в точке А (рис. 68, г). Тогда

изгибающий момент, т. е. момент относительно точки О, равен

а соответствующие напряжения изгиба определяются по формуле

К этим напряжениям изгиба следует добавить равномерно распределенные растягивающие напряжения вызываемые растягивающей силой

Рис. 68.

Нормальные напряжения в поперечном сечении полученные таким элементарным путем, будут, таким образом, определяться формулой

Эта формула совпадает с полученной Стоксом. Ее справедливость в рамках некоторых ограничений была подтверждена экспериментально современными методами фотоупругости.

Несколько лучшее приближение можно получить, если учесть, что к нижней грани балки прикладывается распределенная нагрузка (рис. 68, б) и использовать уравнения (36). Интенсивность такой нагрузки в точке D из уравнения (65) равна Подставляя данное значение в (36) и комбинируя результат со значением полученным выше, получаем во втором приближении

Эти напряжения нужно наложить на напряжения

действующие в полубесконечной пластинке, в результате получатся напряжения в сечении

Сравнение с более точным решением, приведенным ниже (см. таблицу 2, стр. 133), показывает, что уравнения (а) и (б) дают с очень высокой точностью напряжения во всех точках, за исключением точки D на нижней грани балки, где поправка к простой балочной формуле дается выражением

тогда как более точное решение дает всего

Решение той же задачи с помощью тригонометрических рядов получил Файлом. применил это решение к случаю действия сосредоточенных сил и для нескольких частных случаев провел вычисления (см. § 24), которые находятся в хорошем согласии с более поздними исследованиями.

Дальнейшего прогресса в этой области достиг Лэмб, который рассмотрел бесконечную балку, нагруженную через равные промежутки равными сосредоточенными силами, действующими попеременно вверх и вниз, и получил для нескольких случаев выражения кривой прогибов. Полученные результаты показывают, что элементарная теория изгиба Бернулли—Эйлера является весьма точной, если высота балки мала по сравнению с длиной. Было также показано, что уточнения для поперечной силы, даваемые элементарной теорией Ренкина и Грасхофа (см. стр. 67), являются несколько завышенными и должны быть уменьшены примерно на 25%.

Более детальное исследование распределения напряжений и кривизны вблизи точки приложения сосредоточенной силы провели Карман и Зеевальд. Карман рассмотрел бесконечно длинную балку и использовал решение для бесконечной пластинки с двумя равными и противоположными моментами, действующими в двух соседних точках прямолинейной границы (рис. 57, б). Напряжения вдоль нижней грани балки, которые вводятся благодаря такой процедуре, можно снять, если использовать решение в виде тригонометрических рядов (§ 24), которое для бесконечно длинной балки представляется интегралом Фурье. Таким путем Карман пришел к функции напряжений

Эта функция дает распределение напряжений в балке, когда эпюра изгибающих моментов состоит из очень узкого прямоугольника, как показано на рис. 69. В самом общем случае нагружения балки вертикальными силами, приложенными на верхней грани балки, соответствующая эпюра изгибающих моментов может быть разделена на элементарные прямоугольники, подобные показанному на рис. 69, а соответствующую функцию напряжений можно получить путем интегрирования выражения (в) вдоль длины балки.

Рис. 69.

Этот метод решения Зеевальд применил к случаю балки, нагруженной сосредоточенной силой Р (рис. 67). Он показал, что напряжение можно разбить на две части: одну из них можно вычислить по элементарной балочной формуле, другая характеризует локальный эффект вблизи точки приложения силы. Эту последнюю часть напряжения, обозначаемую через можно представить в форме где — численный множитель, зависящий от положения точки, в которой определяется местное напряжение. Значения этого множителя даны на рис. 70. Две другие компоненты напряжения также можно представить в форме Соответствующие значения Сдаются на рис. 71 и 72. Из них можно видеть, что местные напряжения весьма быстро падают с увеличением расстояния от точки приложения нагрузки, и на расстоянии, равном высоте балки, ими обычно можно пренебречь. Используя значения множителя при можно найти местные напряжения в пяти точках поперечного сечения при данной нагрузке (рис. 67) по приводимой

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

на стр. 133 табл. 2. Для сравнения в ней приводятся значения местных напряжений, полученные из уравнений (а) и (б) (стр. 130). Как видим, эти уравнения дают местные напряжения с достаточной степенью точности.

Зная напряжения, можно без особых трудностей найти кривизны и прогибы балки.

Рис. 73.

Рис. 74.

Эти вычисления показывают, что кривизну кривой прогибов также можно разбить на две части, из которых одна дается элементарной теорией, а другая учитывает локальное влияние сосредоточенной нагрузки Р. Эта дополнительная кривизна срединной линии балки может быть представлена формулой

где а — численный множитель, меняющийся вдоль длины балки. На рис. 73 даны несколько значений этого множителя. Мы видим, что уже в поперечном сечении, находящемся на расстоянии, большем половины высоты балки, дополнительной кривизной можно пренебречь.

С учетом влияния этих местных эффектов на кривизну две ветви кривой прогибов (рис. 74) можно считать пересекающимися под углом

друг к другу. Соответствующий прогиб в центре

Из этого прогиба нужно вычесть еще малую поправку снимающую скачок наклона в точке А кривой прогибов. Эта величина также была вычислена Зеевальдом и определяется формулой

Обозначая теперь через прогиб, определенный с использованием элементарной теории, получаем полный прогиб под сосредоточенной силой в виде

При эта формула дает

Элементарная теория Ренкииа—Грасхофа (см. стр. 67) для этого случая приводит к выражению

Очевидно, что равенство дает завышенное значение поправки, связанной со сдвигом. В этих формулах не учтен прогиб, вызванный местными деформациями на опорах.