§ 144. Круглый цилиндр под действием опоясывающего давления

Когда производится посадка короткого кольца на значительно более длинный вал, то обычные формулы расчета посадки, предполагающие, что кольцо и вал имеют одинаковую длину, являются неточными. Намного лучшее приближение можно получить, рассматривая задачу, показанную на рис. 218, а т. е. задачу для длинного цилиндра при равномерном нормальном давлении действующим на опоясывающей части поверхности

Рис. 218.

Искомое решение можно, очевидно, получить, накладывая друг на друга решения для двух распределений давлений, показанных на рис. 218, б. Таким образом, основная задача, решение которой мы сейчас дадим, состоит в определении действия давления на нижней половине цилиндрической поверхности и на ее верхней половине.

Начнем с определения функции напряжений, описываемой уравнением § 143, записывая вместо вместо Положим также Тогда

Эта функция напряжений удовлетворяет уравнению (190) при любых значениях . Если считать, что меняется в некоторой области, мы можем предположить, что зависит от А и от приращения и записать

Подставляя это выражение в формулу (а) и складывая все полученные таким

образом функции напряжений, получаем более общую функцию напряжений в форме

Убедимся теперь, что можно выбрать функцию таким образом, чтобы рассматриваемая функция напряжений дала решение нашей задачи.

Из формул (189) находим, что касательное напряжение выражается формулой

где штрих обозначает дифференцирование по Это напряжение должно обращаться в нуль по поверхности Полагая в выражении в скобках и приравнивая эту скобку нулю, получаем уравнение для которое дает

Остальные граничные условия имеют вид

Значение полученное из с помощью формул (189), имеет вид

Воспользуемся теперь известной формулой

Умножив эти равенства на получим

где значения справа являются граничными величинами для определяемыми формулами (д). Следовательно, граничные условия (д) удовлетворяются, если сделать правую часть уравнения (е) при тождественно равной левой

части уравнения (и). Это условие требует выполнения равенства

которое и служит для отыскания Компоненты напряжения находятся затем по функции напряжений (б) с помощью формул (189) и будут интегралами того же вида, что и интегралы в формуле (е), которая определяет Значения, полученные с помощью численного интегрирования, приведены в статье Ренкина, упомянутой на стр. 427. Кривые на рис. 219 показывают изменение напряжений в осевом направлении для различных значений радиального расстояния и дают также изменение перемещений на поверхности.

Рис. 219.

Эти кривые воспроизведены из статьи Бартона (см. стр. 427) и были получены другим методом с использованием рядов Фурье. Из этих кривых с помощью суперпозиции можно получить результаты для задачи, показанной на рис. 218, как описывалось в начале этого параграфа. Кривые для напряжений и перемещений при полосах нагружения разной ширины приведены в упомянутых статьях. Когда ширина равна радиусу цилиндра, тангенциальное напряжение на поверхности и посередине нагруженной полосы достигает значения, примерно на 10% превышающего приложенное давление, и является, разумеется, сжимающим. Осевое напряжение на поверхности в месте, где кончается нагрузка, становится растягивающим и составляет примерно 45% от приложенного давления. Касательное напряжение достигает наибольшего значения, равного 31,8% приложенного давления, по концам нагруженной полосы и (рис. 218) в точках, близких к поверхности.

Если давление прикладывается по всей криволинейной поверхности цилиндра, то независимо от его длины получаем просто сжимающие напряжения равные приложенному давлению, и напряжения исчезают.

Таким же путем можно получить решения для опоясывающего давления на границе полости в бесконечном теле и для опоясывающего давления у одного из концов сплошного цилиндра.