§ 64. Гиперболические границы. Вырезы
В § 60 было показано, что кривые 
в эллиптических координатах являются гиперболами, а в § 62 — что диапазон изменения для 
можно принять в пределах от 0 до 
, а для 
до 
Рис. 119.
Пусть 
постоянное значение 
вдоль гиперболической дуги (рис. 119). Оно заключено в пределах между 0 и 
поскольку вдоль 
как х, так и у положительны. Вдоль другой половины этой ветви гиперболы 
значение 
равно 
а вдоль половины 
другой ветви 
равно 
а вдоль 
значение 
равно 
Рассмотрим пластинку 
заключенную между этими гиперболическими границами, растягиваемую в направлении 
Для того чтобы в сечении шейки 
растягивающее напряжение было конечным, на бесконечности оно должно равняться нулю. Комплексные потенциалы, которые удовлетворяют этому, а также другим необходимым условиям симметрии относительно осей 
, кроме того, условию отсутствия напряжений на гиперболических границах, выражаются в виде
где А и В — действительные постоянные, 
Отсюда
Уравнение (90) из § 59 показывает, что гиперболическая граница 
будет свободна от напряжений, если функция
вдоль нее будет постоянна, или, что эквивалентно, если будет постоянной сопряженная функция. Эта сопряженная функция, согласно уравнениям (а) и (б), имеет вид
На гиперболе имеем 
в силу чего приведенное выражение принимает вид
Это выражение постоянно, если величина в скобках обращается в нуль. Таким образом,
Чтобы найти результирующую сил, передаваемых через шейку, можно применить равенство (90) § 59 к узкому сечению 
(рис. 119), или точнее — к нижней части эллипса 
заключенной между гиперболами 
На контуре этого эллипса 
равно 
равно 
и мы получаем из уравнений (90), (в) и (г)
Поскольку 
считаются действительными величинами, функция 
равна нулю, и использование уравнения (д) приводит к зависимости
которая служит для определения А, если задано полное усилие 
Компоненты напряжения и перемещения легко найти из уравнений (96), (97) и (98). Первое из них дает
Значение вдоль гиперболической границы можно найти, если положить в этом выражении 
Оно достигает максимума, равного 
в наиболее узком месте, где 
Нейбер
выразил это максимальное значение через радиус кривизны гиперболы в наиболее узком месте шейки. Он же решил с помощью другого метода соответствующие задачи об изгибе и сдвиге, а также растяжении пластинки.
