§ 111. Решение задач о кручении энергетическим методом

Мы видели, что решение задач о кручении в каждом частном случае сводится к определению функции напрйжений, удовлетворяющей дифференциальному уравнению (150) и граничному условию (152). При выводе приближенного решения задачи полезно вместо обращения к дифференциальному уравнению определять функцию напряжений из условия минимума некоторого интеграла, который можно получить, рассматривая потенциальную энергию скручиваемого стержня. Потенциальная энергия скручиваемого стержня, приходящаяся на единицу длины, согласно выражению (136), определяется формулой

Если - некоторая малая, обращающаяся в нуль на контуре вариация функции напряжений то вариация потенциальной энергии будет равна

а вариация крутящего момента, согласно уравнению (153), составит

Рассуждая далее так же, как это делалось при выводе уравнения (142), приходим к выводу, что

Таким образом, истинное выражение для функции напряжений обращает в нуль вариацию интеграла

К такому же выводу мы приходим, используя мембранную аналогию и принцип виртуальной работы (§ 92). Если обозначить через равномерное растяжение в мембране, то приращение энергии деформации мембраны, вызванное

прогибами, получается путем умножения растягивающего усилия на приращение площади поверхности мембраны. Таким образом, получаем

где — прогиб мембраны. Если мы теперь сообщим мембране виртуальное перемещение из положения равновесия, то изменение энергии деформации мембраны, вызванное этим перемещением, дожно быть равно работе, совершенной равномерной нагрузкой на виртуальном перемещении. Отсюда получаем

и определение поверхности прогибов мембраны сводится к отысканию выражения для функции z, которое доставляет минимум интегралу

Если подставить в этом интеграл вместо то мы придем к записанному выше интегралу (173).

Для приближенного решения задач о кручении заменим вышеописанную задачу вариационного исчисления простой задачей отыскания минимума некоторой функции. Возьмем функцию напряжений в виде ряда

где - функции, удовлетворяющие граничным условиям, т. е. обращающиеся в нуль на границе. При выборе этих функций следует руководствоваться мембранной аналогией и принимать их в форме, удобной для представления функции Величины являются числовыми коэффициентами, которые подлежат определению из условия минимума интеграла (173). Подставляя в этот интеграл ряд (а), после интегрирования получаем функцию второй степени относительно условие минимума этой функции имеет вид

Таким образом, мы получаем систему линейных уравнений, из которой можно определить коэффициенты Увеличивая число членов в ряду (а), мы увеличиваем точность приближенного решения, а используя бесконечный ряд, приходим к точному решению.

Возьмем в качестве примера случай прямоугольного поперечного сечения (рис. 163). Граница сечения задается уравнениями

функция на границе равна нулю. Ряд (а) можно взять в форме

где в силу симметрии должны быть четными.

Считая поперечное сечение квадратным и ограничиваясь первым членом ряда (в), примем

Подставляя это выражение в (173), находим из условия минимума, что

Тогда, согласно (153), крутящий момент определяется формулой

Сравнивая это значение с корректным решением (170), мы видим, что ошибка в величине крутящего момента составляет около

Чтобы получить лучшее приближение, сохраним в ряде (в) три первых члена. Тогда, используя условие симметрии, получаем

Подставляя это значение в уравнение (173) и используя выражения (б), находим

Подстановка этих выражений в формулу (153) для крутящего момента дает

Это значение лишь на 0,15% меньше точного.

Значительно большей оказывается ошибка в величине максимального напряжения. Подставляя функцию (г) в выражения (149) для компонент напряжения, находим, что ошибка в максимальном напряжении составляет около 4%, и чтобы получить лучшее приближение, нужно удержать в ряде (в) большее количество членов.

На основе мембранной аналогии можно видеть, что, действуя описанным способом, мы получаем в общем случае значения крутящего момента, меньшие точного. Идеально гибкая мембрана, равномерно растянутая на границе и находящаяся под действием равномерной нагрузки, является системой с бесконечным числом степеней свободы. Оставление в ряде (в) малого числа членов эквивалентно наложению на систему связей, которые приводят

ее к системе с малым числом степеней свободы. Такие связи могут только уменьшить гибкость системы и тем самым уменьшить объем, ограниченный поверхностью прогибов мембраны. Следовательно, крутящий момент, полученный, исходя из такого объема, в общем случае будет меньше его истинного значения.

Треффц предложил другой метод приближенного определения функции напряжений . По его методу приближенная величина крутящего момента оказывается больше точного значения. Следовательно, используя совместно методы Треффца и Ритца, можно установить границы погрешности приближенного решения.

При использовании приближенного метода Ритца мы не обязательно должны пользоваться полиномами (в). Мы можем взять функции входящие в ряд (а) и в других формах, удобных для представления функции напряжений Используя, например, тригонометрические функции и учитывая условия симметрии (рис. 163), получаем

Подставляя это выражение в (173) и производя интегрирование, находим, что

Уравнения (б) принимают вид

и мы получаем

где Подставляя это значение получаем точное решение задачи в форме тригонометрических рядов. Крутящий момент будет при этом равен

Это выражение приводится к виду, совпадающему с полученным ранее выражением (168), если учесть, что

В качестве другого примера рассмотрим случай узкого прямоугольника, сторона которого а очень велика по сравнению с (рис. 163). В первом приближении можно взять

соответствующее решение совпадает с решением, исследованным ранее (§ 108). Чтобы получить лучшее приближение, удовлетворяющее граничным условиям на коротких гранях прямоугольника, возьмем

и выберем величину (5 таким путем, чтобы она доставляла минимум интегралу (173). Таким путем находим

Благодаря экспоненциальному члену, входящему в скобки в выражении (к), мы получаем распределение напряжений, которое практически совпадает с решением (и) во всех точках, находящихся на значительном расстоянии от коротких сторон прямоугольника. Вблизи этих сторон функция удовлетворяет граничному условию (152). Подставляя выражение (к) в формулу (153) для крутящего момента, находим

что находится в очень хорошем согласии с выражением (169), полученным ранее с применением бесконечных рядов.

Полиномиальное выражение для функции напряжений, аналогичное выражению (в), принятому выше для прямоугольника, может успешно использоваться во всех случаях поперечных сечений, ограниченных выпуклыми многоугольниками. Если принять уравнения сторон многоугольника в виде

то функцию напряжений можно взять в форме

и, чтобы получить удовлетворительную точность, обычно достаточно удержать несколько первых членов этого ряда.

Энергетический метод полезен также тогда, когда граница поперечного сечения (рис. 165) задана двумя кривыми

где

Граничные условия будут удовлетворены, если принять для функции напряжений приближенное выражение

Подставляя его в интеграл (173), мы находим из уравнения

Крутящий момент мы находим из формулы (153)

В частном случае, когда имеем и поэтому

Рис. 165.

Приближенное решение и сравнение с экспериментами для сечений, ограниченных дугой окружности и хордой, дал Вейганд. Численные методы решения этих задач обсуждаются в приложениях.