§ 4. Повышение порядка аппроксимации

Как следует из (5), в обычном треугольном конечном элементе распределение деформаций и напряжений однородно. Очевидно, это ведет подчас к серьезным погрешностям, в частности вблизи особенностей, как мы уже видели на примере, и в этих местах сетку конечных элементов приходится сгущать. Было бы желательно иметь возможность задаваться более сложным деформированным состоянием в пределах одного элемента и тем самым повышать порядок аппроксимации. Для этого существуют несколько способов, некоторые из которых мы сейчас рассмотрим.

Зададим перемещения в пределах каждого элемента в виде следующих полиномов:

Здесь имеется уже 8 неизвестных коэффициентов, для определения которых следует задать 8 компонент перемещения в разных точках. Такое количество компонент перемещений в вершинах имеет прямоугольный элемент (рис. 5).

Получение матрицы жесткости и переход к уравнению (8) осуществляется тем же путем, что и в методе треугольных элементов.

В прямоугольном элементе вдоль каждой стороны или и изменение перемещений также определяется линейным законом. В силу этого совмещение узловых перемещений в каждом элементе обеспечивает неразрывность перемещений вдоль каждой общей стороны двух прямоугольников.

Рис. 5.

Рис. 6.

Если в качестве конечных элементов берутся четырехугольники общего типа, то это свойство не сохраняется, и приходится считаться с возможными разрывами перемещений вдоль общих сторон двух элементов.

В одной и той же задаче можно использовать элементы обоих типов, как показано на рис. 6 для случая расчета гравитационной плотины. При этом следует определять компоненты матрицы жесткости для элементов, примыкающих к какому-либо узлу, по разным формулам в зависимости от того, треугольный это элемент или прямоугольный. Аналогично можно сформулировать все зависимости для конечных элементов в виде многоугольников с числом сторон свыше четырех, а также для криволинейных фигур.

Другим способом повышения порядка аппроксимации является введение промежуточных точек на сторонах многоугольников, в которых сопрягаются, наряду с вершинами, аппроксимирующие функции. Так, для треугольного элемента можно принять следующее выражение компоненты перемещения:

Для определения шести постоянных требуется задать перемещение и в шести точках. Тремя точками могут служить

вершины треугольника, а три других можно выбрать на серединах его сторон, как показано на рис. 7. Такое задание перемещения (так же, как и для обычного треугольного элемента) обеспечивает неразрывность перемещений. Действительно, на сторонах треугольника, где х и у связаны линейной зависимостью, Если подставить эту зависимость в (б), то перемещение выразится в виде квадратной параболы

Коэффициенты А, В, С однозначно определяются заданием перемещений в трех точках.

Рис. 7.

Рис. 8.

Следовательно, задание перемещения в трех точках, лежащих на одной прямой, позволяет обеспечить непрерывность перемещений и вдоль прямой, соединяющей эти точки. То же справедливо и для перемещения

Если ввести промежуточные точки для прямоугольного элемента (рис. 8), то перемещение и внутри этого элемента представится выражением

которое также гарантирует непрерывность перемещений.

Использование метода конечных элементов в вышеописанном виде заключает в себе источник погрешности, связанной с тем, что на границах конечных элементов не обеспечивается неразрывность деформаций и напряжений, которая обычно имеет место в статических задачах теории упругости. Для обеспечения неразрывности напряжений требуется сопрягать на границах конечных элементов также производные от аппроксимирующих функций.

Пусть для всех конечных элементов аппроксимирующие функции содержат неизвестных коэффициентов. Пусть также в отдельных точках наложено условий, вытекающих из сопряжения производных от перемещений. Тогда для отыскания всех коэффициентов придется добавить точек, в которых следует сопрягать собственно перемещения. По-видимому, существует некоторый оптимальный порядок сопрягаемых производных, при котором учитываются как точность в выполнении условий

неразрывности перемещений, так и точность в выполнении требования неразрывности напряжений и деформаций.

Метод аппроксимации кривых с сопряжением производных до вторых включительно получил название теории «сплайнов». Поскольку сопряжение функции, а также ее первых и вторых производных отвечает условиям неразрывности перемещений, углов наклона и моментов в изгибаемой балке, получаемая таким образом кривая аналогична упругой линии тонкой линейки, «натянутой» на дискретные точки, в которых заданы перемещения. В связи с этим и теория приложений методов сопряжения производных к задачам теории упругости получила название теории «двумерных сплайнов».

При сравнительной оценке методов с повышенным порядком аппроксимации и обычного метода конечных элементов следует учитывать, что последние значительно сложнее в программировании и требуют гораздо больше подготовительных операций, предшествующих решению системы уравнений.