§ 7. Индексные обозначения

Введенные обозначения для компонент усилии, напряжений, перемещений и деформаций стали общепринятыми во многих странах, в особенности для инженерных расчетов. В этой книге они будут использоваться повсюду. Однако для сжатого представления общих уравнений и выводимых из них теорем более удобна и часто применяется другая система обозначений — система индексных обозначений. В этой системе компоненты перемещения, например, обозначаются или более коротко где считается, что индекс i может принимать значения 1, 2 или 3. Для координат вместо обозначений используются обозначения или просто

На рис. 3 показаны девять компонент напряжений. Ниже эти компоненты представлены в левой таблице:

Вводя обозначения вместо вместо вместо мы получаем следующую таблицу. Здесь первый иидекс указывает направление нормали к грани элемента, на которой эта компонента действует, а второй индекс указывает ось, которой параллельна эта компонента напряжений. В правой таблице буквенные индексы заменены на соответствующие цифровые. Чтобы записать все девять компонент, теперь нам потребуется два индекса и каждый из которых независимо принимает значения 1, 2, 3. Тогда все девять компонент представятся в виде

Соотношения (1), которые сводят девять компонент к шести (но пока в таблицу входят девять), можно выразить в виде

Если положить то просто имеем три тождества вида

Вместо зависимостей (2) между деформациями и перемещениями мы введем теперь девять компонент деформаций (причем из определения

деформаций сдвига следует, что согласно зависимостям

Полагая а затем получаем соотношения в следующем виде:

Полагая сначала затем , наконец из (г) получаем следующие три соотношения:

Заметим, что — это не что иное, как в (2). Таким образом, есть половина величины, на которую уменьшается первоначально прямой угол между линейными элементами в точке с координатами Вместо суммы получим выражение

При индексных обозначениях удобно опускать знак суммирования и писать просто На необходимость суммирования указывает повторяющийся индекс. Это называется правилом суммирования. Отсюда в компонентах напряжений получаем

Использование индекса или любого другого буквенного индекса, который мы можем ввести вместо не меняет смысла выражения. По этой причине такой повторяющийся индекс часто называют «немым» индексом.

Шесть компонент напряжений выражаются через шесть компонент деформаций с помощью формул (11) совместно с (6). Чтобы записать эти выражения с помощью числовых индексов, нам потребуется таблица

Она записывается в виде Очевидно, что этот символ обозначает нуль, если и единицу, если . Его называют «символом Кронекера». С его помощью шесть зависимостей (6), (11) записываются в следующем виде

Символ так же как символ обозначает, разумеется, сумму. Однако, как видит читатель, оказалось необходимым использовать в равенстве (к) немой индекс отличный от и Например, чтобы получить первое изуравнений принимаем и из (к) находим

где имеет тот же смысл, что и е.

Дифференцирование по координатам, которое встречается, например, в формуле (г), можно обозначить более кратко с помощью запятой. Так, соотношение (г) можно записать в виде

Если обозначить будет средним арифметическим трех нормальных компонент напряжений.

Напряжения можно рассматривать как результат наложения двух состояний, напряжения в которых даются таблицами

Первое из них, часто называемое средним или шаровым напряжением 1), выражается формулой Второе, называемое девиаторным напряжением или девиатором напряжений, можно обозначить через где

Подобным же образом можно разделить и деформацию на среднюю деформацию или и девиатйрную дёформацию где

Шесть уравнений, выражающих закон Гука, эквивалентны равенствам

при

В качестве простого упражнения их можно вывести из уравнений (к) или, наоборот, исходя из (м), можно вернуться к

Форма (п) особенно удобна для использования в теории пластичности и теории вязкоупругости. Постоянная часто обозначается через К. В этом случае К будет модулем объемного расширения, уже введенным на стр. 30.

ЗАДАЧИ

(см. скан)