§ 58. Выражение напряжений и перемещений через комплексные потенциалы

До сих пор мы выражали компоненты перемещения и напряжения через функцию напряжений Но так как равенство (84) выражает через две функции то через эти два «комплексных потенциала» можно выразить также напряжения и перемещения.

Напомним, что любая комплексная функция может быть представлена в форме а где а и р — действительные функции. Ей соответствует сопряженная функция которая получается из функции если всюду заменить на этом используется следующее обозначение:

Таким образом, если то

Отметим отличие (б) от выражения

что иллюстрирует смысл, черты над функцией в равенстве (а).

Очевидно,

Тем же путем можно показать, что если добавить к функции, входящей в скобки в равенстве (84), сопряженную ей функцию, то сумма будет равна удвоенной действительной части

упомянутой функции. Следовательно, равенство (84) можно заменить следующим:

Путем дифференцирования находим

Если второе из этих равенств умножить на и сложить с первым, то получаем равенство

Повторяя эти выкладки с равенствами (и) § 57, находим

Используя соотношение (г) § 56 и приведенное выше равенство (в), получаем

Эта формула позволяет определить для плоского напряженного состояния, если заданы комплексные потенциалы Для случая плоской деформации, в соответствии с § 20, в правой части формулы нужно заменить на

Компоненты напряжения можно получить непосредственно, беря вторые производные от обеих частей соотношения (85). Однако, имея в виду последующие приложения к криволинейным координатам, лучше поступить иным образом. Дифференцируя равенство (в) по х, получаем

Дифференцируя равенство (в) по у и умножая на имеем

Вычитая и складывая уравнения (г) и (д), можно получить более простые представления

Замена на в обеих частях соотношения (88) дает

Отделяя действительную и мнимую части равенств (89) или (88), мы получим выражения для . Таким образом, два соотношения (87) и (89) определяют компоненты напряжения через комплексные потенциалы . Следовательно, задав определенные функции мы найдем из уравнений (87) и (89) возможное напряженное состояние, а соответствующие этому состоянию перемещения легко получить из уравнения (86).

В качестве простой иллюстрации этого метода рассмотрим полиномиальную систему напряжений, обсуждавшуюся на стр. 55—56. Функцию напряжений в виде полинома пятой степени, очевидно, можно получить из соотношения (85), если положить

где — произвольные коэффициенты. Отсюда

Учитывая эти формулы, из соотношений (87) и (89) получим

Выражения в квадратных скобках определяют соответственно Компоненты перемещения, - отвечающие этому распределению напряжений, легко получить из равенства (86), которое приводит к зависимости

Ясно, что полиномиальная функция напряжений, имеющая все члены любой заданной степени может содержать только четыре независимые действительные постоянные.