§ 58. Выражение напряжений и перемещений через комплексные потенциалы
До сих пор мы выражали компоненты перемещения и напряжения через функцию напряжений 
Но так как равенство (84) выражает 
через две функции 
то через эти два «комплексных потенциала» можно выразить также напряжения и перемещения.
Напомним, что любая комплексная функция 
может быть представлена в форме а 
где а и р — действительные функции. Ей соответствует сопряженная функция 
которая получается из функции 
если всюду заменить 
на 
этом используется следующее обозначение:
Таким образом, если 
то
Отметим отличие (б) от выражения
что иллюстрирует смысл, черты над функцией 
в равенстве (а).
Очевидно,
Тем же путем можно показать, что если добавить к функции, входящей в скобки в равенстве (84), сопряженную ей функцию, то сумма будет равна удвоенной действительной части
упомянутой функции. Следовательно, равенство (84) можно заменить следующим:
Путем дифференцирования находим
Если второе из этих равенств умножить на 
и сложить с первым, то получаем равенство
Повторяя эти выкладки с равенствами (и) § 57, находим
Используя соотношение (г) § 56 и приведенное выше равенство (в), получаем
Эта формула позволяет определить 
для плоского напряженного состояния, если заданы комплексные потенциалы 
Для случая плоской деформации, в соответствии с § 20, в правой части формулы 
нужно заменить на 
Компоненты напряжения можно получить непосредственно, беря вторые производные от обеих частей соотношения (85). Однако, имея в виду последующие приложения к криволинейным координатам, лучше поступить иным образом. Дифференцируя равенство (в) по х, получаем
Дифференцируя равенство (в) по у и умножая на 
имеем
Вычитая и складывая уравнения (г) и (д), можно получить более простые представления
Замена 
на 
в обеих частях соотношения (88) дает
Отделяя действительную и мнимую части равенств (89) или (88), мы получим выражения для 
. Таким образом, два соотношения (87) и (89) определяют компоненты напряжения через комплексные потенциалы 
. Следовательно, задав определенные функции 
мы найдем из уравнений (87) и (89) возможное напряженное состояние, а соответствующие этому состоянию перемещения легко получить из уравнения (86).
В качестве простой иллюстрации этого метода рассмотрим полиномиальную систему напряжений, обсуждавшуюся на стр. 55—56. Функцию напряжений в виде полинома пятой степени, очевидно, можно получить из соотношения (85), если положить
где 
— произвольные коэффициенты. Отсюда
Учитывая эти формулы, из соотношений (87) и (89) получим
Выражения в квадратных скобках определяют соответственно 
Компоненты перемещения, - отвечающие этому распределению напряжений, легко получить из равенства (86), которое приводит к зависимости
Ясно, что полиномиальная функция напряжений, имеющая все члены любой заданной степени 
может содержать только четыре независимые действительные постоянные.
