§ 157. Начальные напряжения

Метод устранения деформаций, описанный в § 153, можно применить и к более общей задаче о начальных напряжениях. Представим себе тело, разделенное на малые элементы, и предположим, что каждый из элементов обладает некоторой остаточной пластической деформацией или формоизменением, вызываемыми металлографическими превращениями. Пусть эта деформация

определяется компонентами

Допустим, что эти компоненты деформации малы и представляются непрерывными функциями координат. Если они удовлетворяют также условиям совместности (125), то элементы, на которые разделено тело, после деформаций (а) будут плотно прилегать друг к другу и не возникнет никаких начальных напряжений.

Рассмотрим теперь общий случай, когда компоненты деформации (а) не удовлетворяют условиям совместности, так что элементы, на которые разделяется тело, не будут прилегать друг к другу; тогда, чтобы удовлетворялись условия совместности, к этим элементам нужно приложить некоторые усилия. Предполагая, что после приобретения остаточных деформаций (а) материал остается идеально упругим, и, применяя закон Гука, из уравнений (11) и (6) находим, что систему деформаций (а) можно устранить, если приложить к каждому элементу поверхностные усилия

где

Поверхностные силы (б) можно вызвать путем приложения некоторых объемных и поверхностных сил к телу, образованному малыми элементами. Эти силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124). Подставляя в эти уравнения компоненты напряжения (б), находим, что необходимые объемные силы определяются выражениями

а поверхностные силы — выражениями

Прилагая объемные силы (в) и поверхностные силы (г), мы устраним начальную систему остаточных деформаций (а), так что теперь элементы будут плотно прилегать друг к другу и образуют непрерывное тело. Допустим теперь, что элементы, на которые разделено тело, соединены вместе, и устраним силы (в) и (г). Тогда, очевидно, начальные напряжения получатся наложением на напряжения (б) напряжений, вызываемых в упругом теле объемными силами:

и поверхностными силами

Таким образом, задача определения начальных напряжений сводится к обычной системе уравнений теории упругости в которой величины фиктивных объемных и поверхностных сил полностью определены, если задана система деформаций (а).

В частном случае, когда приведенные выше уравнения совпадут с уравнениями, полученными для отыскания температурных напряжений.

Рассмотрим теперь обратную задачу, когда начальные напряжения известны и требуется определить систему деформаций (а), которая вызывает эти напряжения. Для прозрачных материалов, таких, как стекло, начальные напряжения можно исследовать фотоупругим методом (глава 5). В других случаях эти напряжения можно определять, разрезая тело на малые элементы и замеряя деформации, которые происходят в результате освобождения этих элементов от поверхностных сил, представляющих начальные напряжения в неразрезанном теле. Из приведенных рассуждений ясно, что начальная деформация вызывает начальные напряжения лишь в том случае, когда компоненты деформации не удовлетворяют условиям совместности; в других случаях эти деформации могут существовать, и не вызывая напряжений. Отсюда следует, что для определения компонент деформации (а) знания начальных напряжений недостаточно. Если решение для этих компонент получено, можно наложить на это решение любую однородную систему деформаций, удовлетворяющих условиям совместности, не оказав влияния на начальные напряжения.

Начальные напряжения, вызывающие в стекле двойное лучепреломление, создают большие трудности при производстве оптических приборов. Чтобы устранить эти трудности, стекло обычно отпускают. Предел упругости стекла при высокой температуре очень низок, и от действия начальных напряжений материал начинает течь. Если прошло достаточное время, то отпуск материала при высокой температуре дает возможность значительно уменьшить начальные напряжения. Аналогичное влияние оказывает отпуск на различные металлические отливки и поковки.

Рис. 232.

Разрезание больших тел на малые куски снимает начальные напряжения вдоль поверхностей разреза и уменьшает общее количество потенциальной энергии, связанной с начальными напряжениями; однако такие разрезы не всегда уменьшают величину максимальных начальных напряжений. Рассмотрим, например, круговое кольцо (рис. 232). Пусть оно имеет начальные напряжения, симметрично распределенные относительно центра кольца, и пусть компонента начального напряжения изменяется вдоль поперечного сечения по линейному закону (линия на рисунке). Разрезав кольцо в радиальном направлении, как показано на рисунке пунктиром, мы снимем напряжения вдоль разрезов. Это равносильно приложению к концам каждой части кольца двух равных по величине и противоположных по знаку моментов, вызывающих чистый изгиб. Распределение напряжения вдоль линии вызванное этим изгибом, близко к гиперболическому (см. § 29), как показано кривой Распределения остаточных напряжений вдоль после разреза определяются выражением и показаны на рисунке заштрихованной площадью. Если внутренний радиус кольца мал, у внутренней границы возникнет высокая концентрация напряжений, и максимальное начальное напряжение после разрезания, представленное на рис. 222 линией может превысить максимальное начальное напряжение до разрезания. Эта и подобные ей причины служат объяснением того, что иногда после разрезания в стекле появляются трещины.