§ 21. Изгиб консоли, нагруженной на конце

Рассмотрим консоль, имеющую узкое прямоугольное поперечное сечение единичной толщины и изгибаемую силой Р, приложенной на конце (рис. 26). Верхняя и нижняя грани консоли свободны от нагрузки, на торце распределены касательные усилия, имеющие результирующую Р. Этим условиям нагружения можно удовлетворить, выбрав надлежащую комбинацию напряжений чистого сдвига с напряжениями, даваемыми формулами (д) из § 18, показанными на рис. 24. Налагая состояние чистого сдвига на напряженное состояние, определяемое формулами (д), получаем

Рис. 26.

Чтобы продольные края консоли были свободны от усилий, необходимо принять

откуда

Для удовлетворения условия на нагруженном конце консоли, сумма касательных усилий, распределенных по торцу, должна быть равна Р. Отсюда

Из этой зависимости получаем

Подставляя найденные выражения для коэффициентов и в уравнения (а), получим

Замечая, что это момент инерции поперечного сечения

консоли, получаем

Это решение полностью совпадает с элементарным решением., которое дается в курсах сопротивления материалов. Следует заметить, что это решение является точным лишь в том случае, когда касательные усилия на конце распределяются по тому же параболическому закону, что и касательные напряжения и интенсивность нормальной силы в заделке пропорциональна у. Если усилия на конце распределяются иным образом, распределение напряжений (б) не является точным решением для области вблизи конца консоли, однако в силу принципа Сен-Венана оно может считаться удовлетворительным для поперечных сечений, достаточно удаленных от этого конца.

Рассмотрим теперь перемещения, соответствующие напряжениям (б). Применяя закон Гука, находим

Процедура определения компонент перемещения и и состоит в интегрировании уравнений (в) и (г). Интегрируя уравнения (в), находим

где - неизвестные функции, из которых одна зависит только от у, другая — только от х. Подставляя эти значения и и в уравнение (г), получаем

В этом уравнении некоторые члены являются функциями только от х, а некоторые — только от один из членов не зависит ни от х, ни от у. Обозначим эти группы членов соответственно через так что

Теперь рассматриваемое уравнение можно переписать в виде

Из этого соотношения следует, что функция тождественно равна некоторой постоянной а функция — некоторой

постоянной е. В противном случае функции изменялись бы в зависимости от х и у, и при изменении одной только переменной х или одной только переменной у равенство непременно нарушалось. Таким образом,

и

Значит, функции имеют вид

Подставляя их в выражения для и и находим

Теперь постоянные можно определить из уравнения (д) и из трех условий закрепления, которые необходимы, чтобы воспрепятствовать движению балки в плоскости как абсолютно твердого тела. Допустим, что точка А, являющаяся центром тяжести концевого поперечного сечения, фиксирована. Тогда при компоненты перемещений и и равны нулю и из уравнений (ж) следует, что

Уравнение изогнутой оси консоли получается при подстановке во второе уравнение (ж). Отсюда

Для определения постоянной в этом уравнении нам нужно воспользоваться третьим условием закрепления, исключающим возможность вращения балки в плоскости х относительно фиксированной точки А. Это условие можно реализовать несколькими способами. Рассмотрим два случая.

1) Элемент оси балки на конце А зафиксирован. Тогда условие закрепления имеет вид

2) Вертикальный элемент поперечного сечения в точке А зафиксирован. Тогда условие закрепления принимает вид

В первом случае из уравнения (и) получаем

а из уравнения (д) следует

Подставляя найденные постоянные в уравнения (ж), находим

Уравнение изогнутой оси балки имеет вид

Оно дает значение прогиба для нагруженного конца равное Это значение совпадает со значением, которое обычно получается в элементарных курсах сопротивления материалов.

Чтобы проиллюстрировать искажение поперечного сечения, производимое касательными напряжениями, рассмотрим перемещение и на закрепленном конце Для этого конца из уравнений (м) имеем

Форма поперечного сечения после его искажения показана на рис. 27, а. Под действием касательного напряжения в точке А элемент поперечного сечения в этой точке поворачивается вокруг точки А в плоскости на угол по часовой стрелке.

Если вместо того, чтобы фиксировать горизонтальный элемент оси, зафиксировать вертикальный элемент поперечного сечения в точке А (рис. 27, б), то из условия и первого из уравнений (ж) получаем

а из уравнения (д) находим

Подставляя выражение (п) во второе из уравнений (ж), имеем

Сравнивая эту зависимость с уравнением (н), можно сделать вывод, что из-за поворота оси в точке А (рис. 27, б) вертикальные перемещения оси консоли увеличиваются на величину

Это одна из возможных количественных оценок так называемого влияния поперечной силы на прогибы балки.

Рис. 27.

На практике на заделанном конце мы имеем условия, отличные от показанных на рис. 27. Фиксированное сечение обычно не может искажаться, и распределение усилий на заделанном конце консоли отличается от того, которое дается уравнениями (б). Однако решение (б) дает удовлетворительные результаты для сравнительно длинных консолей на значительном удалении от концов.