§ 128. Решение задач изгиба с помощью метода мыльной пленки

Точные решения задач изгиба известны лишь для немногих частных случаев, в которых поперечные сечения имеют некоторые простые формы. Для целей практики важно иметь способы решения таких задач для любой заданной формы поперечного сечения. Этого можно достичь с помощью численных расчетов, основанных на методе конечных разностей, как показано в Приложении I, или экспериментальным путем с поюощью метода мыльной пленки, аналогично способу, использ ока ином у для решения задач о кручении (см. стр. 309). Для теоретического обоснования метода мыльной пленки воспользуемся уравнениями (181), (182) и (183). Приняв

согласно (182), приходим к следующему уравнению для функции напряжений:

То же уравнение описывает поведение равномерно растянутой мембраны без нагрузки (см. стр. 312). Граничное условие (183) принимает вид

Интегрируя соотношение (б) вдоль контура, получаем выражение для функции напряжений

из которого можно получить значение для каждой точки контура. Интеграл вдоль границы обращается в нуль, так как он представляет статический момент поперечного сечения относительно оси у, проходящей через центр тяжести сечения. Следовательно, функция определенная выражением (в), представится вдоль границы замкнутой кривой.

Вообразим теперь, что на эту кривую натянута мыльная пленка. Тогда поверхность мыльной пленки будет удовлетворять уравнению (а) и граничному условию (в). Следовательно, ординаты пленки представляют функции напряжений во всех точках поперечного сечения в том масштабе, который используется для представления функции вдоль границы (уравнение

Рис. 199.

Фотография на рис. 199 иллюстрирует метод, который используется для построения контура мыльной пленки. В тонкой металлической пластинке вырезается отверстие такой формы, что после изгиба пластинки проекция границы отверстия на горизонтальную плоскость имеет то же очертание, что и граница поперечного сечения балки. Пластинка изгибается таким образом, чтобы ординаты вдоль края отверстия представляли в некотором масштабе значения функции, определяемые уравнением (в).

Аналогия с мыльной пленкой применима только при малых прогибах мембраны. Желательно, чтобы максимальная разность ординат пленки не превышала одну десятую часть максимального горизонтального размера. Если это необходимо, диапазон

ординат функции вдоль границы можно уменьшить путем введения. новой функции вместо с помощью подстановки

где а и b - произвольные постоянные. Можно убедиться, что функция также удовлетворяет уравнению мембраны (а). Значения функции вдоль контура, согласно уравнениям (в) и (г), определяются выражением

Уменьшение диапазона изменения функции на контуре легко вызвать соответствующим подбором постоянных а и

Когда по мыльной пленке найдена функция функция определяется по формуле (г). Затем из формул (181) находятся касательные компоненты напряжений, которые теперь имеют вид

Компоненты напряжений легко находятся для каждой точки поперечного сечения, если известны значения производных в этой точке. Эти производные определяются наклонами мыльной пленки по направлениям у их. Для определения этих наклонов действуют так же, как и при решении задач кручения, т. е. прежде всего строятся горизонтали поверхности мыльной пленки. По горизонталям можно найти наклоны, проводя прямые линии, параллельные координатным осям и строя кривые, представляющие соответствующие сечения поверхности мыльной пленки. Полученные таким путем наклоны нужно внести в выражения (д) для компонент касательного напряжения. Точность этой операции можно проверить путем вычисления результирующей всех касательных напряжений, распределенных по поперечному сечению. Эта результирующая должна быть равна изгибающей силе, приложенной к концу консоли.

Эксперименты показывают, что использование метода мыльной пленки дает возможность добиться удовлетворительной точности при определении напряжения. Результаты, полученные для двутаврового сечения, показаны на рис. 200. Из него можно видеть, что обычные допущения элементарной теории изгиба о том, что стенка двутавровой балки воспринимает большую часть поперечной силы и что касательные напряжения по толщине стенки постоянны, полностью подтверждается. Максимальное касательное напряжение в нейтральной плоскости хорошо согласуется с тем, которое дает элементарная теория. Компонента в стенке

практически равна нулю и достигает максимума вблизи входящего угла. Величина этого максимума зависит от радиуса закругления входящего угла. При принятых пропорциях это значение составляет лишь около половины максимального напряжения в нейтральной плоскости. На рис. 200 показаны линии равных касательных напряжений, дающие отношения этих напряжений к среднему касательному напряжению

Рис. 200.

Для случая двутавровой балки были изучены местные напряжения у входящего угла. Радиус закругления входящего угла увеличивался шагами и для каждого значения радиуса строились горизонтали.. Таким путем было показано, что максимальное напряжение в углу равно максимальному напряжению в стенке, когда радиус закругления составляет около одной шестнадцатой толщины стенки.