§ 167. Плоские волны

Если в некоторой точке упругой среды производится какое-либо возмущение, то из этой точки во все стороны начинают излучаться волны. На большом расстоянии от центра возмущения эти волны можно рассматривать как плоские и считать, что все частицы движутся параллельно направлению распространения волны (продольные волны) или перпендикулярно этому направлению (поперечные волны). В первом случае мы будем иметь волны расширения, во втором — волны искажения.

Рассмотрим сначала продольные волны. Если выбрать ось х в направлении распространения волны, то и и будет функцией только одной координаты х. Уравнения (271) в этом случае дают

С помощью подстановки можно показать, что любая функция является решением уравнения (275). Любая функция также является решением этого уравнения, и его общее решение можно представить в форме

Это решение имеет очень простую физическую интерпретацию, которую легко пояснить следующим образом. Рассмотрим второй член в правой части формулы (276). Для любого заданного момента времени этот член является функцией только одной переменной и может быть представлен некоторой кривой, например (рис. 236, а), форма которой зависит от вида функции

Рис. 236.

Через интервал времени аргумент функции примет вид Значение функции останется неизменным, если одновременно с увеличением на величину абсцисса увеличится на величину равную Это означает, что кривая построенная для момента времени может также использоваться для момента если ее сместить в направлении х на расстояние как показано на рисунке пунктиром. Таким же путем можно показать, что первый член решения (276) представляет волну, движущуюся в противоположном направлении. Таким образом, общее решение (276) представляет две волны, движущиеся вдоль оси х в двух противоположных направлениях с постоянной скоростью определяемой формулой (273). Эту скорость можно выразить через Е и подставляя в формулу (273) выражения X и которые даются равенствами (10) и (5). Тогда будем иметь

Для стали можно принять равным

Рассматривая «прямое» движение волны, представленное функцией в формуле (276), получаем следующее выражение

для скорости частицы и:

где и штрих обозначает дифференцирование функции по Кинетическая энергия элемента получается при этом в виде

Потенциальная энергия совпадает с энергией деформации. Компоненты деформации имеют вид

В соответствии с выражением (132) энергия деформации элемента равна

Если сопоставить соотношения (б) и (г) и учесть формулу (273), то становится ясным, что кинетическая и потенциальная энергии в любой момент времени совпадают.

Для напряжений имеем следующие зависимости:

откуда

Такие компоненты требуются для выполнения условия Сравнивая выражение (е) для с выражением (а) для и и используя зависимость из (в), находим, что

Если бы мы рассматривали «обратное» движение волны, представленное в формуле (276) только одной функцией то в формулах (а) и (ж) знаки «минус» следовало бы заменить знаками «плюс».

Функции для каждого частного случая нужно определять из начальных условий в момент Для этого момента из формулы (276) имеем

Предположим, например, что начальная скорость равна нулю

и начальное перемещение определяется формулой

Условия (и) будут удовлетворены, если принять

Следовательно, в этом случае начальное перемещение расщепляется на две половины, которые распространяются как волны в двух противоположных направлениях (рис. 236, б).

Рассмотрим теперь поперечные волны. Если ось х направлена в сторону распространения волны, ось у имеет направление поперечного перемещения, то получаем, что перемещения и и равны нулю, а перемещение будет функцией от Тогда из уравнений (270)

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (275), и мы можем сделать вывод, что волны искажения распространяются вдоль оси х со скоростью

или, с учетом (277),

При вышеприведенная формула дает

Любая функция

является решением уравнения (к) и представляет волну, распространяющуюся в направлении со скоростью . Возьмем, например, решение в форме

В этом случае волна имеет синусоидальную форму. Длина волны равна а амплитуда Скорость поперечного движения равна

Эта скорость равна нулю, когда перемещение (м) максимально, и достигает наибольшей величины, когда перемещение равно нулю. Деформация сдвига, вызываемая этой волной, определяется формулой

Можно убедиться, что максимальное искажение (о) и максимальное абсолютное значение скорости (н) достигаются в заданной точке одновременно.

Распространение волн этого вида можно представить следующим образом. Пусть (рис. 237) - тонкое волокно, выделенное из упругой среды. Когда вдоль оси х распространяется синусоидальная волна (м), элемент А испытывает перемещения и искажения, последовательные изменения которых показаны с помощью заштрихованных элементов

Рис. 237

В момент элемент А имеет положение, обозначенное цифрой . В этот момент его искажение и скорость равны нулю. Затем он приобретает положительную скорость и после некоторого промежутка времени, равного его искажение показано цифрой 2. В этот момент перемещение элемента равно нулю, а его скорость максимальна. Через промежуток времени, равный условия, в которых находится элемент, показаны цифрой 3 и т. д.

Пусть поперечное сечение волока равно тогда кинетическая энергия элемента А

а энергия деформации

Учитывая, что можно сделать вывод, что кинетическая и потенциальная энергии элемента в любой момент времени равны.

В случае землетрясения в толще земли со скоростями распространяются оба вида волн: волны расширения и волны искажения. Их можно зарегистрировать с помощью сейсмографа, и интервал времени между прибытием этих двух видов волн позволяет получить некоторую информацию относительно расстояния регистрирующей станции от центра возмущения.

Чтобы удовлетворить физическим условиям на свободной поверхности или на поверхности раздела между двумя различными средами, можно комбинировать плоские волны синусоидальной

и другой формы различными способами. Если направление распространения не параллельно поверхности, можно получить результаты, отвечающие отражению волны от свободной поверхности или отражению и преломлению на поверхности раздела. Движение волны, распространяющейся параллельно плоской свободной поверхности со скоростью, отличной от (поверхностной волной Рэлея), рассматривается ниже в § 170.