Глава 12. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ

§ 131. Общие уравнения

Несколько задач о телах вращения, деформируемых нагрузками, симметричными относительно оси, встречались в предыдущих главах. Простейшими примерами являются круглый цилиндр под действием равномерного внешнего давления (§ 28) и вращающийся круглый диск (§ 32). Это примеры осесимметричных задач, в которых отсутствует кручение. В противоположность им мы рассматривали также кручение кругового цилиндра (см. задачу 2, стр. 354), в которой касательные напряжения зависят только от одной цилиндрической координаты . В задаче о кручении круглых валов переменного диаметра (§ 119) не равные нулю компоненты напряжения также являются функциями только и z и не зависят от .

Данная глава (за исключением двух последних §§ 146 и 147) посвящена осесимметричным задачам, в которых отсутствует кручение. В цилиндрических координатах с соответствующими компонентами перемещения компонента и обращается в нуль, а компоненты и и не зависят от . Тогда компоненты напряжения также не зависят от , а две из них равны нулю. Это можно видеть из уравнений (179), которые представляют собой общие зависимости между деформациями и перемещениями в цилиндрических координатах. В рассматриваемом случае эти зависимости приводятся к виду

Уравнения равновесия элемента (180) приводятся к следующим:

Для многих задач оказывается удобным вновь ввести функцию напряжений

С помощью подстановки можно убедиться, что уравнения (188) удовлетворяются, если принять

При этом функция напряжений удовлетворяет уравнению

Символ обозначает оператор

что соответствует оператору Лапласа

в прямоугольных координатах (см. уравнение (и) § 27, стр. 85). Следует заметить, что функция напряжений не зависит от 0, в силу чего третий член в (а) обращается в нуль, если оператор применяется к функции

Легко найти перемещения соответствующие напряжениям, выраженным формулами (189). Для и из формул (187), (189) и (а) имеем

Далее с помощью третьего уравнения (187) находим а с помощью четвертого - . Отсюда

Следовательно,

где — произвольная функция только одной переменной Подставляя выражение (190) в четвертое уравнение (187), получаем

Отсюда, учитывая, что находим

где - произвольная функция только одной переменной Но поскольку выражения (б) и (в) должны совпадать, функции должны быть равны во всех точках области. Отсюда

Эта постоянная в выражениях (б) или (в) соответствует осевому перемещению абсолютно твердого тела и ее можно отбросить, подразумевая, что если этого потребуют условия закрепления, то постоянную А можно будет восстановить. При этом компоненты перемещения, согласно (190), а также (б) или (в) выражаются в виде

Рис. 201.

Если за отправный пункт принять перемещения, выраженные таким образом через функцию удовлетворяющую дифференциальному уравнению (190), то из них можно определить компоненты деформации (187), а затем компоненты напряжения (189). При этом не возникает вопроса о совместности, поскольку компоненты деформации выводятся непосредственно из компонент перемещения Любую задачу можно считать решенной, если мы можем найти такую функцию которая удовлетворяет также граничным условиям. Несколько задач такого рода рассматриваются в §§ 133—144. В § 145 описываются другие методы.

В некоторых случаях полезно выразить уравнение (190) не в цилиндрических координатах а в полярных координатах и (рис. 201). Такое преобразование легко осуществить с помощью формул § 27. Получаем

Подставляя в (190), имеем

В последующих параграфах мы применим некоторые решения этого уравнения к исследованию конкретных задач с осевой симметрией.