§ 33. Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце

Начнем с простого случая, изображенного на рис. 46. Стержень узкого прямоугольного поперечного сечения с осью в форме дуги круга закреплен на нижнем конце и изгибается силой Р, приложенной в радиальном направлении к верхнему концу. Изгибающий момент в любом поперечном сечении пропорционален а нормальное напряжение согласно элементарной теории изгиба кривых брусьев, пропорционально изгибающему моменту. Полагая, что это остается справедливым и для точного решения (предположение, которое будет подтверждено результатами) из второго уравнения (38) находим, что функция напряжений удовлетворяющая уравнению

должна быть пропорциональна Принимая

и подставляя (б) в уравнение (а), находим, что функция должна удовлетворять следующему обыкновенному дифференциальному уравнению

Рис. 46.

Это уравнение можно преобразовать в линейное уравнение с постоянными коэффициентами (см. стр. 85), и его общее решение имеет вид

где А, В, С и D — постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий. Подставляя решение (г) в выражение (б) для функции напряжений и используя общие формулы (38), находим следующие выражения для компонент напряжений:

Условия, что внешняя и внутренняя границы кривого стержня (рис. 46) свободны от внешних условий, имеют вид

или, в соответствии с равенством (59),

Наконец, последнее условие состоит в том, что сумма касательных усилий, распределенных по верхнему концу стержня, должна быть равна Р. Принимая ширину поперечного сечения равной единице, или считая Р нагрузкой на единицу толщины пластинки, для верхнего конца получаем

или

Из уравнений (д) и (е) находим

где

Подставляя значения (ж) постоянных интегрирования в уравнения (59), получаем выражения для компонент напряжений. Для

верхнего конца стержня при получаем

Для нижнего конца находим

Формулы (59) определяют точное решение задачи только тогда, когда усилия на концах криволинейного стержня распределены так, как этого требуют уравнения (и) и Для всякого другого распределения усилий распределение напряжений на концах стержня будет отличаться от того, которое дает решение (59), однако в силу принципа Сен-Венана на большом расстоянии от концов решение остается справедливым. Вычисления показывают, что элементарная теория, основанная на предположении, что плоские поперечные сечения после изгиба остаются плоскими, снова дает весьма удовлетворительные результаты.

Рис. 47.

На рис. 47 показано распределение касательных напряжений по поперечному сечению (для случаев ). Абсциссами являются радиальные расстояния от внутренней границы Ординаты представляют собой численные коэффициенты, на которые нужно умножить среднее касательное напряжение чтобы получить касательное напряжение в рассматриваемой точке. При величине этого коэффициента 1,5 получается напряжение, равное максимальному касательному напряжению, определенному из параболического распределения для прямых балок прямоугольного сечения. Из рисунка можно видеть, что распределение касательных напряжений приближается к параболическому, когда высота сечения мала. Для таких соотношений размеров, которые характерны для арок и сводов, можно с достаточной точностью принимать параболическое распределение

касательных напряжений, которое имеет место в прямолинейных стержнях прямоугольного поперечного сечения.

Рассмотрим теперь перемещения, вызываемые силой Р (рис. 46). Используя уравнения (48)-(51) и подставляя выражения (59) для компонент напряжения, получаем

После интегрирования первого из этих уравнений имеем

где функция зависит только от . Подставляя выражение (м) во второе уравнение вместе с выражением для и интегрируя, находим

где функция зависит только от Подставляя теперь выражения (м) и (н) в третье равенство приходим к уравнению

Это уравнение удовлетворяется, если положить

где - произвольные постоянные, которые определяются из условий закрепления.

Компоненты перемещений согласно формулам (м) и имеют теперь следующий вид:

Радиальное перемещение верхнего конца стержня можно получить, иолапя в выражении для а, откуда

Постоянная определяется из условия на заделанном конце

(рис. 46). При имеем таким образом из второго уравнения получаем

Следовательно, прогиб верхнего конца стержня с учетом (ж) дается формулой

Приложение этой формулы будет дано ниже. Когда приближается к а, а высота сечения криволинейного стержня мала по сравнению с а, можно использовать выражение

Подставляя его в (60) и пренебрегая членами высших порядков, получаем

что совпадает с элементарной формулой для этого случаяг).

Взяв функцию напряжений в виде

и действуя описанным выше способом, находим решение для случая, когда к вгрхнему концу стержня приложены вертикальная сила и изгибающий момгнт (рис. 46). Вычитая из этого решения напряжения, производимые изгибающим моментом (см. § 29), можно получить напряжения, вызываемые вертикальной силой, приложенной к концу стержня. Имея решения для случаев действия горизонтальной и вертикальной сил, можно с помощью наложения получить решения для любой наклонной силы.

В приведенных рассуждениях всюду предполагалось, что уравнения (д) удовлетворяются и что круговые границы стержня свободны от нагрузок. Считая, что в (д) правые части отличны от нуля, получаем случай, когда по границам стержня распределены нормальные и касательные усилия, пропорциональные Комбинируя эти решения с полученными ранее для случаев чистого изгиба и для изгиба силой, приложенной на конце, можно приближенно представить условия нагружения свода песком или грунтом.