§ 130. Дальнейшие исследования изгиба брусьев

В предыдущих параграфах мы рассматривали задачу об изгибе консоли, заделанной на одном конце и нагруженной на другом конце поперечной силой. Полученные решения являются точными, если внешние усилия распределены по концевым поперечным сечениям таким же образом» как и напряжения , найденные в решениях. Если это условие не выполняется, в распределении напряжений вблизи концов балки появятся местные отклонения. На основании принципа Сен-Венана мы можем, однако, предположить, что на достаточном удалении от концов, скажем на расстоянии, большем размеров поперечного сечения балки, наши решения будут достаточно точными. Используя тот же принцип Сен-Венана, можно распространить полученные выше решения на другие случаи нагружения и опирания балки. Мы можем с достаточной точностью предположить, что напряжения в любом поперечном сечении балки, достаточно удаленном от мест действия нагрузок, зависят только от величины изгибающего момента и поперечной силы в этом поперечном сечении и могут быть определены путем суперпозиции решений, полученных ранее для случая консоли.

Если изгибающие усилия наклонены по отношению к главным осям поперечного сечения балки, то их всегда можно

разложить на две составляющие, действующие в направлении главных осей, и далее можно раздельно рассматривать изгиб в каждой из двух главных плоскостей. Полные напряжения и перемещения можно после этого получить с помощью принципа суперпозиции.

Вблизи точек приложения внешних усилий в распределении напряжений имеются отклонения, которые обсуждались ранее для частного случая узкого прямоугольного поперечного сечения (см. § 40). Подобные исследования для других типов поперечных сечений показывают, что эти отклонения носят местный характер.

Задача об изгибе решена также для некоторых видов распределенной нагрузки. Показано, что в таких случаях ось балки обычно удлиняется или укорачивается так же, как и в рассмотренном ранее случае узкого прямоугольного поперечного сечения (см. § 22). Кривизна оси в этих случаях уже не пропорциональна изгибающему моменту, однако требуемые поправки малы и в практических задачах ими можно пренебречь. Например, в случае круглой балки, изгибаемой нагрузкой от собственного веса, кривизна на заделанном конце определяется формулой

где а — радиус контура поперечного сечения, длина консоли. Второй член в скобках представляет собой поправку к кривизне, вызванную распределенной нагрузкой. Эта поправка является малой величиной порядка Этот вывод сохраняет силу и для балок других поперечных сечений, изгибаемых нагрузкой от собственного веса.